证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在(0,1)内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限(n=2,3,4.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 10:24:43
证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在(0,1)内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限(n=2,3,4.证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在(0,1)内必有唯一

证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在(0,1)内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限(n=2,3,4.
证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在(0,1)内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限(n=2,3,4.

证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在(0,1)内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限(n=2,3,4.
令f(x)=X^n+X^n-1+.+X^2+X-1,
则f(0)=-1=2-1=1
显然f(x)是单增函数,所以在(0,1)内必有唯一实根Xn
左边有
我们说看到Xn是关于n单减的,下面用反证法证明:
如若不然,则存在k>=2,使 Xk+1>=Xk
有 1 = (Xk+1)^(k+1) + (Xk+1)^(k)+ ...+Xk+1 >= (Xk+1)^(k+1)+(Xk)^(k)+ ...+Xk =(Xk+1)^(k+1)+1>1
得到了1>1矛盾.
所以Xn单减,而有下界是显然的,所以Xn收敛,设Xn→x
对于左边用等比数列求和有 Xn(1 - (Xn)^n)/(1-Xn)=1
n→∞有 x/(1-x)=1
解得x=1/2
所以Xn→1/2