已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.若bn=2(1-n)an(n≥2),求证：b1²+b2²+...+bn²＜1an+2Sn*S(n-1)=0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 18:58:47
已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.若bn=2(1-n)an(n≥2),求证：b1²+b2²+...+bn²＜1an+2Sn*S(n-1)=0
已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.
若bn=2(1-n)an(n≥2),求证：b1²+b2²+...+bn²＜1
an+2Sn*S(n-1)=0
已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.若bn=2(1-n)an(n≥2),求证：b1²+b2²+...+bn²＜1an+2Sn*S(n-1)=0
an+2Sn·S(n-1)=0(n≥2),Sn-S(n-1)=an
所以Sn-S(n-1)+2Sn·S(n-1)=0(n≥2)
两边同时除以Sn·S(n-1),得1/S(n-1)-1/sn+2=0
即 1/sn-1/S(n-1)=2,1/S1=2,{1/Sn}=2n
即 Sn=1/2n
S(n-1)=1/2n-2
相减,an=-1/2n(n-1)
bn=2(n-1)/2n(n-1)=1/n
则要求证1/1+1/2^2+1/3^2.+1/n^2正无穷时为1.
即b1/(1-q)=1,不妨设b1=1/2,q=1/2,则bn=(1/2)^n
只需证2^n>n^2,n
an+2Sn·S(n-1)=0(n≥2),Sn-S(n-1)=an
Sn-S(n-1)+2Sn·S(n-1)=0
1/sn-1/S(n-1)=2 而1/S1=1/a1=2
Sn=1/2n
an=Sn-S(n-1)=1/2n-1/2n-2==-1/2n(n-1)
bn=2(n-1)/2n(n-1)=1/n (n>=2)
当n=1时 b1=0 很...
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an+2Sn·S(n-1)=0(n≥2),Sn-S(n-1)=an
Sn-S(n-1)+2Sn·S(n-1)=0
1/sn-1/S(n-1)=2 而1/S1=1/a1=2
Sn=1/2n
an=Sn-S(n-1)=1/2n-1/2n-2==-1/2n(n-1)
bn=2(n-1)/2n(n-1)=1/n (n>=2)
当n=1时 b1=0 很显然满足b1^2<1
当n>=2时 b1²+b2²+...+bn²=b2^2+....+bn^2=1/(2*2)+1/(3*3)+...+1/(n*n)
<1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]=1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=1-1/n<1 (n>0)
即证
收起