谁会用特征根方程怎么求数列的通向公式?

谁会用特征根方程怎么求数列的通向公式?
谁会用特征根方程怎么求数列的通向公式?

谁会用特征根方程怎么求数列的通向公式?
特征方程特征根法求解数列通项公式
一：A(n+1)=pAn+q,p,q为常数.
（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ),则 λ=q／(1-p).
（2）此处如果用特征根法：
特征方程为：x=px+q,其根为 x=q/（1-p）
注意：若用特征根法,λ 的系数要是-1
例一：A（n+1)=2An+1 ,其中 q=2,p=1,则
λ =1/（1-2）= -1那么
A（n+1）+1=2（An+1）
二：再来个有点意思的,三项之间的关系：
A(n+2)=pA(n+1)+qAn,p,q为常数
（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],
则 m+k=p,mk=q
（2）此处如果用特征根法：
特征方程是y×y=py+q（※）
注意：
① m n为（※）两根.
② m n可以交换位置,但其结果或出现两种截然不同的数列形式,但同样都可以计算An,而且还会有意想不到的惊喜,
③ m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式,这个时侯你会发现,这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组,那么不就可以消去A（n+1）,留下An,得了,An求出来了.
例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An,
特征方程为：y×y= - 5y+6
那么,m=3,n=2,或者m=2,n=3
于是,A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1)
A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2)
所以,A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)
A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)
you see 消元消去A（n+1）,就是An勒
例三：
【斐波那挈数列通项公式的推导】　　斐波那契数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21……
　　如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+).那么这句话可以写成如下形式：
　　F(0) = 0,F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
　　显然这是一个线性递推数列.
　　通项公式的推导方法一：利用特征方程
　　线性递推数列的特征方程为：
　　X^2=X+1
　　解得
　　X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.
　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
　　∵F(1)=F(2)=1
　　∴C1*X1 + C2*X2
　　C1*X1^2 + C2*X2^2
　　解得C1=1/√5,C2=-1/√5
　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
　　通项公式的推导方法二：普通方法
　　设常数r,s
　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
　　则r+s=1,-rs=1
　　n≥3时,有
　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
　　……
　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
　　将以上n-2个式子相乘,得：
　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
　　∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
　　上式可化简得：
　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
　　那么：
　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
　　……
　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
　　=(s^n - r^n)/(s-r)
　　r+s=1,-rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2
　　则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
三：最后准备好了吗,咱们来看最刺激,最具挑战性的一组：
A(n+1)=（MAn+N）/（CAn+D）M,C不同时为零
此题一般可以避开求通项公式而另辟蹊径的方法,比如数学归纳法一类的等等,但是如果一定要挑战一下自己,那我们现在就开始通项公式之路
（1）此处似乎只能用特征根法：
特征方程：x+（Mx+N）/(Cx+D)
①特征方程有两个不等的实根,设为α,β,
则 {（An-α）/（An-β）}为等比数列
注意：α,β可以互换位置
②特征方程有一个实根,α
则 {1/（An-α）}伟等差数列
③特征方程没有实数根,
则 {An}为循环数列,
每年总要有几个题要来个A2007,A2008,A2009,A20xx
例四：这个例题的数字给的十分有意思——伟强
A（n+1)=（3An+4）/（2An+3）
特征方程：x=（3x+4）/（2x+3）,x=±√2
则 {（An+√2）/（An－√2）}为等比数列
（A（n+1）+√2）/（A（n+1）－√2）
＝[（3An+4）/（2An+3）+√2]/[（3An+4）/（2An+3）－√2]
＝[（3+√2）An+（3√2+4）]/[(3-2√2)/(4-3√2)]
＝（3+2√2）/（3-2√2）×（An+√2）/（An-√2）
＝(√2－1)^4×[（An+√2）/（An－√2）]