关于抛物线的抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称 （1）求p,q的值 （2）在题中的抛物线上是否存在这样的

关于抛物线的抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称 （1）求p,q的值 （2）在题中的抛物线上是否存在这样的
关于抛物线的
抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称
（1）求p,q的值
（2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q,使得四边形PAQD恰好为平行四边形?若存在,求出点Q坐标.若不存在,请说明理由
（3）连接PA,AC.问:在直线PC上,是否存在这样的点E(不与C重合),使得以点P,A,E为顶点的三角形与△PAC相似?若相似,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由

关于抛物线的抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称 （1）求p,q的值 （2）在题中的抛物线上是否存在这样的
说明：这是一道测试一次函数、二次函数、平面直角三角形及直线位置关系等性质的综合题型,求解很繁琐,
我把图形上传了,请您参考细看解题过程.
（1）
在抛物线y=x^2+px+q中
当x=0时,y=q. 即：C点的坐标为（0,q).
因为：OA=OC,D点与A点关于y轴对称.
所以：A点的坐标为（q,0)；D点的坐标为（-q,0).
将A(q,0)代人y=x^2+px+q中得：0=q^2+pq+q
即：q(q+p+1)=0
所以：q=0,(不符合题意,舍去.）
      q+p=-1———————————————①
现在求点P的坐标,即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标：
横坐标：-（p/2)；纵坐标：（4q-p^2)/4.
即:点P的坐标为[-（p/2),(4q-p^2)/4]
再求直线CD的解析式： 设直线CD的方程为y=kx+b
因为直线CD过C(0,q)、D(-q,0)两点,所以有方程组
q=b,  0=-qk+b.
解得：k=1,  b=q.
所以直线CD的解析式为：y=x+q.
因为点P[-（p/2),(4q-p^2)/4]在直线CD上,
所以  4q-p^2)/4=-（p/2)+q
解得： q=0(不符合题意,舍去）
       q=2————————————————②
又已经求得的①、②两等式得：p=2,q=-3.
因此;p、q的值分别为 2和-3.
（2）
因为：p=2,q=-3.
所以：抛物线y=x2+px+q的解析式为y=x^2+2x-3,A、D、C、P四点的坐标分别为（-3,0）、（3,0）、（0,-3）、（-1,-4）.
在第一问中已经求得直线CD的方程式为y=x+q,因此将q=-3代人得：
y=x-3(这是直线CD的解析式）
设：过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为：
        y=x+b(因两直线平行,所以一次项系数相等）
因为点A（-3,0）在直线AQ上,将其代人y=x+b中得：0=-3+b,解得：b=3
所以:直线AQ的方程为：y=x+3
下面求直线AQ（y=x+3)与抛物线y=x^2+2x-3的交点Q的坐标：
 解方程组y=x^2+2x-3,y=x+3.得x1=2,y=5；x2=-3,y2=0.
即：两交点为A(-3,0)；Q(2,5).
下面再求A、Q两点距离和PD两点距离：从图形可知
｜AQ｜=√[5^2+(2+3)^2]=5√2
｜PD｜=√(4^2+4^2)=4√2
所以｜AQ｜≠｜PD｜
这说明AQ与PD不相等,所以在抛物线y=x2+px+q上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点.
（3）
存在E点,且E点坐标为（9,6）.
设E点是直线PC上的点,且满足AE垂直AP
求直线AP的方程,设直线AP的方程为y=kx+b
因为A(-3,0),P（-1,-4）两点在直线AP上,所以有方程组
  0=-3k+b,-4=-k+b.解得：k=-2,b=-6.
所以直线AP的方程式为:y=-2x-6
因为直线AE垂直直线AC,所以两直线一次项系数之积等于-1
所以,设直线AE方程式为y=(1/2)x+b
A（-3,0）点在直线AE上,所以有0=（1/2）*（-3）+b 即b=3/2
所以直线AE的方程式为y=(1/2）x+3/2
直线AE与直线CD相交于E点,解两直线方程组成的方程组：
y=(1/2）x+3/2,y=x-3.解得：x=9,y=6.
即E点的坐标为（9,6）.
在三角形ACD中,因为OA=OD=OC,AD垂直CO
所以角ACD是直角,
在直角三角形APE中,AC是斜边PE上的高
所以△APC∽△EPA
  答毕
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（1）、∵抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,则方程x2+px+q=0必有两实根，不妨设方程的两根为α、β，则有α+β=-p α*β=q
观察抛物线y=x2+px+q的图象可知
抛物线y=x2+px+q的开口向上，与y轴交于点C的坐标为（0，q），顶点P坐标为（-p/2，[4q-p2]/4）
又因为OA=OC
不妨设点A的坐标为（-q，0）[当然...

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（1）、∵抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,则方程x2+px+q=0必有两实根，不妨设方程的两根为α、β，则有α+β=-p α*β=q
观察抛物线y=x2+px+q的图象可知
抛物线y=x2+px+q的开口向上，与y轴交于点C的坐标为（0，q），顶点P坐标为（-p/2，[4q-p2]/4）
又因为OA=OC
不妨设点A的坐标为（-q，0）[当然也可以为（q，0）]
显然方程x2+px+q=0必有一实根为-q，
可设α=-q 则β=-1
∴p=q+1
又∵直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称
∴点D的坐标为（q，0）
因此直线PC的方程为x+y=q（由D、C两点的坐标来求）
而点P在直线PC上
∴ [4q-p2]/4-p/2=q
4q-p2-2p=4q
p（p+2）=0
∴ p=-2，p=0（抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点，且OA≠OB,故p=0不合题意，舍去）
因此，q=-3
（2）、∵抛物线上若存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形，则原点O必是平行四边形PAQD的对称中心（因为OA=OD），显然，Q P两点关于原点O中心对称。且点Q在抛物线上。
又顶点P坐标为（1，-4），根据Q P两点关于原点O对称可知点Q的坐标为（-1，4）；很明显点Q不在抛物线y=x2-2x-3上
∴抛物线上不存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形。
（3）、由（2）可知点P的坐标为（1，-4），点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）.
则PA=2√5，PC=√2.
若以点P,A,E为顶点的三角形与△PAC相似，
则PC/PA=PA/PE
PE=PA*PA/PC=20/√2=10√2
DE=PE-PC-CD=10√2-3√2-√2=5√2
过点E作x轴的垂线于F,由于OC=OD,显然DF=EF.
在直角三角形DEF中,可求DF=FE=5.
所以,E点的坐标为(-8,5)

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