几何平均数和算术平均数的大小的公式推导证明：1/n(a1+a2+.+an)≥(a1a2a3.an)开n次方
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 02:21:21
几何平均数和算术平均数的大小的公式推导证明：1/n(a1+a2+.+an)≥(a1a2a3.an)开n次方
几何平均数和算术平均数的大小的公式推导
证明：1/n(a1+a2+.+an)≥(a1a2a3.an)开n次方
几何平均数和算术平均数的大小的公式推导证明：1/n(a1+a2+.+an)≥(a1a2a3.an)开n次方
(1)n=2时：设a1,a2为实数,
有（a1-a2）²≥0,（当a1=a2时,等号成立）
a1²-2a1a2+a2²≥0,
a1²+a2²≥2a1a2,
a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2,
（a1+a2)²/4≥a1a2,
∴（a1+a2)/2≥√a1a2.
(2)设n=k时成立：
（a1+a2+.+ak)/k=a1a2a..ak(k开k次方）
（3）当n=k+1时：
把ak换成a（n-1)+an,
下面仍然成立.
一般地：（a1+a2+...+an）/n=a1a2..an（开n次方）.
算术平均数大于等于几何平均数.
（a1-a2-a3-···-an）的平方=a1的平方+a2的平方+···+an的平方-ai*aj（i，j=（1~n）；
ai*aj（i，j=（1~n）≥n*（a1*a2*a3*···*an）；所以有 a1的平方+a2的平方+···+an的平方≥n*（a1*a2*a3*···*an）；所以就可以证明：1/n(a1+a2+.....+an)≥(a1a2a3....an)开n次方
，
有（a1-a2）²≥0，（当a1=a2时，等号成立）
a1²-2a1a2+a2²≥0，
a1²+a2²≥2a1a2，
a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2，
（a1+a2)²/4≥a1a2，
∴（a1+a2)/2≥√a1a2。
(2)设n=k时成立：
全部展开
，
有（a1-a2）²≥0，（当a1=a2时，等号成立）
a1²-2a1a2+a2²≥0，
a1²+a2²≥2a1a2，
a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2，
（a1+a2)²/4≥a1a2，
∴（a1+a2)/2≥√a1a2。
(2)设n=k时成立：
（a1+a2+。。+ak)/k=a1a2a..ak(k开k次方）
（3）当n=k+1时：
把ak换成a（n-1)+an，
下面仍然成立。
一般地：（a1+a2+...+an）/n=a1a2.。。an（开n次方
收起
楼上的回答已经很详尽了~