在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.为什么PQ=QD?(1)若α=60°且点P与点M重合,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠C
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/27 18:10:40
在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.为什么PQ=QD?(1)若α=60°且点P与点M重合,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠C
在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.
为什么PQ=QD?
(1)若α=60°且点P与点M重合,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数;
(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线于射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示),并加以证明;
(3)对于适当大小的α,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且
PQ=QD,请直接写出α的范围.
在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.为什么PQ=QD?(1)若α=60°且点P与点M重合,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠C
(1)∵BA=BC,∠BAC=60°,M是AC的中点,∴BM⊥AC,AM=MC,∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ,∴AM=MQ,∠AMQ=120°,∴CM=MQ,∠CMQ=60°,∴△CMQ是等边三角形,∴∠ACQ=60°,∴∠CDB=30°;(2)如图2,连接PC,AD,∵AB=BC,M是AC的中点,∴BM⊥AC,∴AD=CD,AP=PC,PD=PD,在△APD与△CPD中,AD=CDPD=PDPA=PC ∴△APD≌△CPD(SSS),∴∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,又∵PQ=PA,∴PQ=PC,∠ADC=2∠1,∠4=∠PCQ=∠PAD,∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°,∴∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+∠PQD)=180°,∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α,∴2∠CDB=180°-2α,∴∠CDB=90°-α;(3)如图1,延长BM,CQ交于点D,连接AD,∵∠CDB=90°-α,且PQ=QD,∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α,∵点P不与点B,M重合,∴∠BAD>∠PAD>∠MAD,∵点P在线段BM上运动,∠BAD最大为2α,∠MAD最大等于α,∴2α>180°-2α>α,∴45°<α<60°.
(1)∵BA=BC,∠BAC=60°,M是AC的中点, ,
∴BM⊥AC,AM=MC,
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ,
∴AM=MQ,∠AMQ=120°,
∴CM=MQ,∠CMQ=60°,
∴△CMQ是等边三角形,
∴∠ACQ=60°,
∴∠CDB=30°;
(2)如图2,连接PC,AD,
∵AB=BC,M是AC的中点,
∴BM⊥AC,
∴AD=CD,AP=PC,PD=PD,
在△APD与△CPD中,
∵AD=CD PD=PD PA=PC
∴△APD≌△CPD,
∴∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,
又∵PQ=PA,
∴PQ=PC,∠ADC=2∠1,∠4=∠3=∠PAD,
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°,
∴∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+∠PQD)=180°,
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α,
∴2∠CDB=180°-2α,
∴∠CDB=90°-α;
(3)如图1,延长BM,CQ交于点D,
∵∠CDB=90°-α,且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α,
∵点P不与点B,M重合,
∴∠BAD>∠PAD>∠MAD,
∵点P在线段BM上运动,∠BAD最大为2α,∠MAD最大等于α,
∴2α>180°-2α>α,
∴45°<α<60°