设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.2012年全国卷理科数学第20题.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 03:41:32
设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.2012年全国卷理科数学第20题.设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,

设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.2012年全国卷理科数学第20题.
设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.
2012年全国卷理科数学第20题.

设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.2012年全国卷理科数学第20题.
(1)f'(x)=a-sinx,x∈[0.π]
sinx∈[0,π];当a=0恒成立,f(x)单调递增;
当0

f'(x)=a-sinx
若a≥1,则函数单增
若a≤0,则函数单减
若0x=arcsina
则x∈[arcsina,π-arcsina]函数单减
其他函数单增
f(x)≤1+sinx
ax+cosx≤1+sinx
ax≤(1+sinx-cosx)=1+√2sin(x-π/4)
x...

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f'(x)=a-sinx
若a≥1,则函数单增
若a≤0,则函数单减
若0x=arcsina
则x∈[arcsina,π-arcsina]函数单减
其他函数单增
f(x)≤1+sinx
ax+cosx≤1+sinx
ax≤(1+sinx-cosx)=1+√2sin(x-π/4)
x=0时,a可以为任何值
x≠0时
a≤[1+√2sin(x-π/4)]/x
这个难道用大学的导数来求?

收起

(II)ax+cosx<=1+sinx => ax+1<=sinx-cosx =sqrt(2)sin(x-pi/4)
画图,容易看出,两交点为(0,-1)和(pi,1)=> a<=2/pi.