一题有关数论的中学奥数题求解a,b为正整数,且a,b为偶数.求证：一定存在正整数c和d 使a的平方+b的平方+c的平方＝d的平方 注：不得举例子证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 15:06:18
一题有关数论的中学奥数题求解a,b为正整数,且a,b为偶数.求证：一定存在正整数c和d 使a的平方+b的平方+c的平方＝d的平方 注：不得举例子证明
一题有关数论的中学奥数题求解
a,b为正整数,且a,b为偶数.
求证：一定存在正整数c和d
使a的平方+b的平方+c的平方＝d的平方
注：不得举例子证明
一题有关数论的中学奥数题求解a,b为正整数,且a,b为偶数.求证：一定存在正整数c和d 使a的平方+b的平方+c的平方＝d的平方 注：不得举例子证明
因为a,b为偶数,所以可设a=2m,b=2n,取d=m^2+n^2+1,c=m^2+n^2-1,
那么
d^2-c^2
=(m^2+n^2+1)^2-(m^2+n^2-1)^2
=[(m^2+n^2+1)-(m^2+n^2-1)]*[(m^2+n^2+1)+(m^2+n^2-1)]
=2(2m^2+2n^2)
=4m^2+4n^2
=(2m)^2+(2n)^2
=a^2+b^2,
所以a^2+b^2+c^2 = d^2.
d=(a^2+b^2)/4+1 c=(a^2+b^2)/4-1 因为 a b都是偶数 所以(a^2+b^2)/4也是整数 所以 d 和c都是整数
回答者： china_wc - 高级魔法师 七级的回答很好。建议采纳。
a,b为正整数，且a,b为偶数。
求证：一定存在正整数c和d，使aa+bb+cc＝dd
证：
依已知可设a=2m,b=2n,m,n为正整数。
于是：aa+bb=2(2mm+2nn)=(mm+nn+1)^2-(mm+nn-1)^2
从而取c=mm+nn-1,d=mm+nn+1，<...
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回答者： china_wc - 高级魔法师 七级的回答很好。建议采纳。
a,b为正整数，且a,b为偶数。
求证：一定存在正整数c和d，使aa+bb+cc＝dd
证：
依已知可设a=2m,b=2n,m,n为正整数。
于是：aa+bb=2(2mm+2nn)=(mm+nn+1)^2-(mm+nn-1)^2
从而取c=mm+nn-1,d=mm+nn+1，
可得aa+bb+cc=dd，并且c,d为正整数。
证毕。
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