是否存在abc,使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)对一切自然数成立
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/07 19:38:55
是否存在abc,使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)对一切自然数成立
是否存在abc,使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)对一切自然数成立
是否存在abc,使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)对一切自然数成立
证明:
假设存在a,b,c使得等式成立,则可以令n=1,2,3,此时得方程组:
①a+b+c=24;②4a+2b+c=44;③9a+3b+c=70
联立①②③,解得:a=3;b=11;c=10
即1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+bn+c)
下面用数学归纳法进行证明:
1.当n=1时,成立(通过前面的计算是成立的)
2.假设当n=k时,等式成立,
即Sk=1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+k*(k+1)^2=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)
则当n=k+1时,
Sk+1
=Sk+(k+1)(k+2)
=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)+(k+1)(k+2)
=[(k+1)(k+2)/12][3(k+1)^2+11(k+1)+10]
即当n=k+1时,等式也成立
因此,当a=3,b=11,c=10 时,等式对一切自然数都成立.
有三个公式必须要记住就能解决:
1+2+...+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2
n(n+1)^2=n(n^2+2n+1)=n^3+2n^2+n
==(n(n+1)/2)^2+n(n+1)(2n+1)/3+n(n+1)/2
然后你把她整理一下成为[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c),问题就迎刃而解了。
有啊,a=3 b=11 c=10这个题本来可以列函数的,但我忘了,既然是求三个数的值,那取三个数带进去解一下就行了,分别代n=1和2和3就可以了,解出过后可以换n=4和5进行检验