求函数y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)的取值范围,已知A、B、C为三角形的内角.答案是（0,2）

求函数y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)的取值范围,已知A、B、C为三角形的内角.答案是（0,2）
求函数y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)的取值范围,已知A、B、C为三角形的内角.
答案是（0,2）

求函数y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)的取值范围,已知A、B、C为三角形的内角.答案是（0,2）
s为三角形半周长,r为三角形内切圆半径,R为三角形外接圆半径
sinA+sinB+sinC=s/R
cosA+cosB+cosC=(r+R)/R
y=s/(r+R)
2R+2r>s 也就是内切圆直径加外接圆直径和大于半周长
y=s/(r+R)<2
取2的情况可以这么来理解,等腰三角形的顶角为180,其它两个角为0,那么r=0,R=s/2,不过这只能无限接近,而不能达到……但是几何证明法总是让人觉得不靠谱……其实我认为更为简单~~~为啥一定要用函数来证明呢?
这个嘛,要是证明倒是可以,但是如果用在取极值的话就不严谨啦~~~提供一种思路

当三角形是锐角三角形时，
C〈90°，则A+B〉90°，
A>90°-B,
当正弦在锐角区间时是单调增函数，
sinA>sin(90°-B),
sinA>cosB,
同理，
sinB>cosC,
sinC>cosA,
三个不等式两边相加，
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC,
cosA+...

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当三角形是锐角三角形时，
C〈90°，则A+B〉90°，
A>90°-B,
当正弦在锐角区间时是单调增函数，
sinA>sin(90°-B),
sinA>cosB,
同理，
sinB>cosC,
sinC>cosA,
三个不等式两边相加，
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC,
cosA+cosB+cosC>0,
∴（sinA+sinB+sinC）/（cosA+cosB+cosC）>1,
即y>1.
若是直角三角形，
设C=90°，
A+B=90°,
sinA=cosB,
sinB=cosA,
sinC=1,
cosC=0,
sinC>cosC,
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC,
cosA+cosB+cosC>0,
(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)>1,
y>1,
当三角形是钝角三角形时，不能确定范围，
设C>90°时,
A+B<90°,
sinAsinBsinC>cosC,(cosC<0,sinC>0).

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上面的请教下
∂f/∂A=0，∂f/∂B=0
怎么来的,

（1）当三角形是锐角三角形时，C<90°，
则A+B〉90°，A>90°-B,
当正弦在锐角区间时此函数是单调增函数，
则sinA>sin(90°-B),
sinA>cosB,
同理，
sinB>cosC,
sinC>cosA,
三个不等式两边相加，得
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC,
co...

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（1）当三角形是锐角三角形时，C<90°，
则A+B〉90°，A>90°-B,
当正弦在锐角区间时此函数是单调增函数，
则sinA>sin(90°-B),
sinA>cosB,
同理，
sinB>cosC,
sinC>cosA,
三个不等式两边相加，得
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC,
cosA+cosB+cosC>0,
∴（sinA+sinB+sinC）/（cosA+cosB+cosC）>1,
即y>1.
（2）若是直角三角形，
设C=90°，
∴A+B=90°,
sinA=cosB,
sinB=cosA,
∴sinC=1,
cosC=0,
sinC>cosC,
∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC,
cosA+cosB+cosC>0,
∴(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)>1,
y>1,
（3）当三角形是钝角三角形时，不能确定范围，
设C>90°时,
A+B<90°,
∴sinAsinB∴sinC>cosC,(cosC<0,sinC>0).
综上所述，取值范围为y>1

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cosA+cosB+cosC > 0 ，令 f(A,B) =2(cosA+cosB+cosC)-(sinA+sinB+sinC)=2[cosA+cosB-cos(A+B)]-[sinA+sinB+sin(A+B)]，由 ∂f/∂A=0，∂f/∂B=0，易得 A=B=π/3，1/4

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cosA+cosB+cosC > 0 ，令 f(A,B) =2(cosA+cosB+cosC)-(sinA+sinB+sinC)=2[cosA+cosB-cos(A+B)]-[sinA+sinB+sin(A+B)]，由 ∂f/∂A=0，∂f/∂B=0，易得 A=B=π/3，1/4

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