用微积分推导向心加速度的公式,方向怎么处理?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 09:35:27
用微积分推导向心加速度的公式,方向怎么处理?
用微积分推导向心加速度的公式,方向怎么处理?
用微积分推导向心加速度的公式,方向怎么处理?
研究一个极短的时间dt,在这段时间内物体与圆心的连心转过的角度为θ.初速度为v1,末速度为v2,速度的变化量为dv,它们构成一个闭合的三角形,v1、v2的夹角为θ.则
dv=2v1sinθ/2
考虑到θ非常小,上式可写为dv=2v1θ/2=v1θ
而θ=ωdt=v1dt/r
所以dv=v1^2dt/r
a=dv/dt=v1^2/r
上述运算只得出a的大小,a方向由向心力F确定,故始终指向圆心.
这个好像不用微积分吧
高中课本有介绍，考虑Δt→0的情形，要用到相似三角形的
这是大学的事，你大学可以考虑
可以直接用向量代数来微分计算，首先构建一个坐标系，以运动轨迹的圆心为原点，运动轨迹为x²+y²=R²，为便于分析取初始位置与圆心所在直线为x轴，初始位置在x轴正方向坐标（R，0），那么位移s的矢量表达式为：
s=（Rcosωt，Rsinωt）……………………注意s的方向为从圆心指向位置点（根据位移的定义）
v=ds/dt=（-Rωsinωt，Rωcos...
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可以直接用向量代数来微分计算，首先构建一个坐标系，以运动轨迹的圆心为原点，运动轨迹为x²+y²=R²，为便于分析取初始位置与圆心所在直线为x轴，初始位置在x轴正方向坐标（R，0），那么位移s的矢量表达式为：
s=（Rcosωt，Rsinωt）……………………注意s的方向为从圆心指向位置点（根据位移的定义）
v=ds/dt=（-Rωsinωt，Rωcosωt）……………………试着用s点乘v（二者都是矢量）：
s · v=-R²ωcosωtsinωt+R²ωcosωtsinωt=0
所以v与s始终保持垂直
a=dv/dt=（-Rω²cosωt，-Rω²sinωt）……………………注意比较a和s的关系（a也是矢量）：
a=(-ω²)（s）……………………显然a与s共线且方向相反，那么a的方向就是始终指向圆心。
计算各个向量的模：
|a|=Rω²
|v|=Rω
所以|a|=|v|²/R
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