“可以证明……”后面的式子
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/25 01:49:09
“可以证明……”后面的式子“可以证明……”后面的式子“可以证明……”后面的式子可以用数学归纳法证明也可以用以下方法因为(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1,分别取k=1,2,…,n写出n个等式:
“可以证明……”后面的式子
“可以证明……”后面的式子
“可以证明……”后面的式子
可以用数学归纳法证明
也可以用以下方法
因为(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1,分别取k=1,2,…,n写出n个等式:
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
……
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
把这n个等式两边相加,得到
(n+1)^3-1^3=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3*(1+2+…+n)+n
即n^3+3n^2+3n=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3n(n+1)/2+n
由此可以解得:1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
数学归纳法
不用数学归纳法的话,就a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+ab),则令a=n,b=n-1。则有n^2+(n-1)^2=n^3-(n-1)^3-n^2+n,累加下去,有1^2+2*(2^2+…+(n-1)^2)+n^2=n^3-1-(2^2+3^2…+n^2)+(n-1)(n+2)/2
即3*(1^2+2^2+…+n^2)=n^3-1+(n-1)(n+2)/2+2*1^2+n^2=n(2n^2+3n+1)/2=n(2n+1)(n+1)/2
所以(1^2+2^2+…+n^2)=n(2n+1)(n+1)/6
“可以证明……”后面的式子
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