求解答,高数题,如图,谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 15:34:45
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这题楼上太繁琐.用极坐标,注意0《r《Rcosθ,代入得：
=∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,Rcosθ)r√(R^2-r^2)dr
=(1/2)∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,Rcosθ)√(R^2-r^2)dr^2
=(-1/3)∫(-π/2,π/2)(R^2-r^2)^(3/2)|(0,Rcosθ)dθ
=(1/3)∫(-π/2,π/2)R^3(1-[(sinθ)^2^(3/2)dθ (偶函数在对称区间的积分为半区间的2倍）
=(2R^3/3)∫(0,π/2)(1-(sinθ)^3)dθ (∫(0,π/2)(sinθ)^3)dθ用公式=2/3)
=(2/3)R^3(π/2-2/3)
用极坐标
x=rcost
y=rsint
围城区域方程为
r^2=R*rcost
r=Rcost
所以r的范围是
0
所以原积分变为
∫<-π/2,π/2>∫<0,Rcost>根号(R^2-r^2) r dr dt
第一层用替换，u=R^2-r^2, ...
全部展开
用极坐标
x=rcost
y=rsint
围城区域方程为
r^2=R*rcost
r=Rcost
所以r的范围是
0
所以原积分变为
∫<-π/2,π/2>∫<0,Rcost>根号(R^2-r^2) r dr dt
第一层用替换，u=R^2-r^2, R^2
rdr=(-1/2)du
=(-1/2)∫<-π/2,π/2>∫
=(1/2)∫<-π/2,π/2> (2/3)u^(3/2) |
=(R^3/3)∫<-π/2,π/2> [1-|sint|^3] dt
由于对称性
=(2R^3/3)∫<0,π/2> [1-sin^3 t ] dt
=(2R^3/3)∫<0,π/2>[1-(3/4)sint+(1/4)sin3t] dt
=(2R^3/3)[t+(3/4)cost-(1/12)cos3t]|<0,π/2>
=(2R^3/3)[π/2+(3/4)*(-1)-(1/12)(-1)]
=(2R^3/3)[π/2-2/3]
收起