甲乙两人比赛射击,每个回合射击中取胜得1分,假设每个回合射击中,甲胜的概率为a,乙胜的概率为b,a+b=1,比赛进行到一人比另一人多2分为止,多2分者获胜,求甲最终获胜的概率.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 02:45:28
甲乙两人比赛射击,每个回合射击中取胜得1分,假设每个回合射击中,甲胜的概率为a,乙胜的概率为b,a+b=1,比赛进行到一人比另一人多2分为止,多2分者获胜,求甲最终获胜的概率.
甲乙两人比赛射击,每个回合射击中取胜得1分,假设每个回合射击中,甲胜的概率为a,乙胜的概率为b,a+b=1,
比赛进行到一人比另一人多2分为止,多2分者获胜,求甲最终获胜的概率.
甲乙两人比赛射击,每个回合射击中取胜得1分,假设每个回合射击中,甲胜的概率为a,乙胜的概率为b,a+b=1,比赛进行到一人比另一人多2分为止,多2分者获胜,求甲最终获胜的概率.
不用这么复杂,
设甲胜概率为x,考察前两回合的结果,有3种情况,甲连胜两回合、甲乙一胜一负、乙连胜两回合,其发生的概率分别为a^2、2ab、b^2；3种情况后甲获胜的概率分别为1、x、0；由此可得方程
x=a^2+2abx
x=a^2/(1-2ab)
无病的回答是不正确的，因为在N场比赛中，如果前面的M场已经分出胜负就不需要再比赛了，而无病给出的N的概率没有排除出这种情况；
实际上，比赛有三种结果：甲胜，乙胜，平局（累死他们。。。）
而以2场为例（要想分出结果，必须比偶数场），甲胜概率为aa，乙胜概率为bb，平局概率为ab+ba=2ab；
甲若想胜，假设需要2n场（必须偶数场嘛），则最后2场必是甲胜，前面的2（n-1）场...
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无病的回答是不正确的，因为在N场比赛中，如果前面的M场已经分出胜负就不需要再比赛了，而无病给出的N的概率没有排除出这种情况；
实际上，比赛有三种结果：甲胜，乙胜，平局（累死他们。。。）
而以2场为例（要想分出结果，必须比偶数场），甲胜概率为aa，乙胜概率为bb，平局概率为ab+ba=2ab；
甲若想胜，假设需要2n场（必须偶数场嘛），则最后2场必是甲胜，前面的2（n-1）场以及2（n-2）场以及等等直至最开始的2场都为平局，此概率为（2ab）^（n-1）*a^2=(2b)^(n-1)*a^(n+1)，再弄个极限求和就好了。。。
∑(1≤n<∞)（(2b)^(n-1)*a^(n+1)）=a²/(1-2ab)
嘿嘿，其实我的方法还是很正确的嘛，但是忘记了怎么无线等比例求和真是学过的数学都还给老师去了。。。。。
收起
第1场胜的人如果第2场也胜了,比赛就结束.
此时(共赛2场)甲获胜的概率是a²,乙获胜的概率是b²,
甲乙各胜1场比赛又从0重新开始概率是2ab
第3场胜的人如果第4场也胜了,比赛就结束.
至此时(共赛4场)甲获胜的概率是a²+a²*2ab,乙获胜的概率是b²+b²*2ab,
...
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第1场胜的人如果第2场也胜了,比赛就结束.
此时(共赛2场)甲获胜的概率是a²,乙获胜的概率是b²,
甲乙各胜1场比赛又从0重新开始概率是2ab
第3场胜的人如果第4场也胜了,比赛就结束.
至此时(共赛4场)甲获胜的概率是a²+a²*2ab,乙获胜的概率是b²+b²*2ab,
甲乙各胜2场比赛又从0重新开始概率是(2ab)²
…………
第2n+1场胜的人如果第2n+2场也胜了,比赛就结束.
至此时(共赛2n+2场)甲获胜概率是a²+a²*2ab+……a²*(2ab)^n,乙获胜概率是b²+b²*2ab+……b²*(2ab)^n,
甲乙各胜n+1场比赛又从0重新开始概率是(2ab)^(n+1)
…………
甲最终获胜的概率是
a²+a²*2ab+……a²*(2ab)^∞=∑【a²*(2ab)^i】│（i=0,+∞）=a²/(1-2ab)
收起
列举所有成功的情形
b成功n次，a成功n+2次，且最后一次一定是a成功。
那么有C(2n+1,n)种组合的情况
所有的情况加在一起就是∑(0≤i<∞)C(2n+1,n)*(b^n)*(a^(n+2))
不知道如何化简