三角形ABC中,AB=BC=2,AC=3,O是内心,若向量AO=p向量AB+q向量AC,则p/q为多少
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 13:57:22
三角形ABC中,AB=BC=2,AC=3,O是内心,若向量AO=p向量AB+q向量AC,则p/q为多少
三角形ABC中,AB=BC=2,AC=3,O是内心,若向量AO=p向量AB+q向量AC,则p/q为多少
三角形ABC中,AB=BC=2,AC=3,O是内心,若向量AO=p向量AB+q向量AC,则p/q为多少
设AO交BC于D
O内心
AO平分角BAC CO平分角ACB
BD/CD=AB/AC=2/3 OD/AO=CD/AC
BD+CD=BC AD/AO=(AO+OD)/AO=1+OD/AO=1+CD/AC
BC/CD=(BD+CD)/CD=1+BD/CD=5/3 CD=(BC)(3/5)=6/5 CD/AC=2/5
CD=BC*(3/5) AD/AO=1+2/5=7/5
BC=BA+AC AO=(5/7)*AD
CD=(3/5)(BA+AC)
AD=AC+CD
AD=(8/5)AC+(3/5)BA
=(-3/5)AB+(8/5)AC
AO=(5/7)AD
=(-3/7)AB+(8/7)AC
p=-3/7 q=8/7
p/q=-3/8
向量AB+q向量AC 这句什么意思？
设E为AC中点，由内角平分线定理知BO : OE=4 :3
向量AO=1/2向量AC+3/7向量EB
=1/2向量AC+3/7·1/2﹙向量AB+向量CB﹚
=1/2向量AC+3/14﹙向量AB+向量AB－向量AC﹚
=3/7向量AB＋2/7向量AC
则p/q为3/2
以A点为原点，AC为X轴，AC过A点得垂线为y轴，则有A（0,0），O（3/2,3倍根号7/14), B（3/2,根号7/2), C(3,0)因此由题意有3/2=p*(3/2)+q*3........(1)
3倍根号7/14=P*(根号7/2)+q*0............(2)
解得，p=3/7,q=2/7, p/q=3/2
补充：具体坐标怎么求，设BO延长线交AC于D...
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以A点为原点，AC为X轴，AC过A点得垂线为y轴，则有A（0,0），O（3/2,3倍根号7/14), B（3/2,根号7/2), C(3,0)因此由题意有3/2=p*(3/2)+q*3........(1)
3倍根号7/14=P*(根号7/2)+q*0............(2)
解得，p=3/7,q=2/7, p/q=3/2
补充：具体坐标怎么求，设BO延长线交AC于D，BD平方=AB平方-AD平方（勾股定理）
得BD=根号(4-9/4)=根号7/2，由于BO：OD=AB：AD=4：3，因此OD=BD*（3/7)=3倍根号7/14,于是相关三点坐标都出来了
收起
先求出角A=120度，结合图形利用AB+AC-BC=2，一半就是过点A的切线长为1，解三角形可求出AO=2，
向量AG可用1/3（AB+AC）表示，再结合数量积公式可求最后结果了。