在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心（三角形三条边上的高所在的直线交于一点,这点叫做这个三角形的垂心）,求证：PA⊥BC.（能给我个图吗?真不好意思,没有图给你们看,还让
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 21:14:11
在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心（三角形三条边上的高所在的直线交于一点,这点叫做这个三角形的垂心）,求证：PA⊥BC.（能给我个图吗?真不好意思,没有图给你们看,还让
在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心（三角形三条边上的高所在的直线交于一点,这点叫做这个三角形的垂心）,求证：PA⊥BC.（能给我个图吗?真不好意思,没有图给你们看,还让你们给图给我参考）
在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心（三角形三条边上的高所在的直线交于一点,这点叫做这个三角形的垂心）,求证：PA⊥BC.（能给我个图吗?真不好意思,没有图给你们看,还让
连结AO,并延长交BC于D,
∵O是△ABC的垂心,
∴AD⊥BC,
∵O是P在平面ABC的射影,
∴PO⊥平面ABC,
又∵AO是AP在平面ABC的射影,
∴根据三垂线定理,垂直斜线的射影必垂直其斜线.
∴PA⊥BC
图我找不到,我家电脑的画图程序还没了,所以,抱歉啊,没有图~
= =图自己画一下就行了
连结AO.因为O是△ABC的垂心,则AO⊥BC
又因为O是P在面ABC内的射影.则PO⊥面ABC
所以PO⊥BC.
因为AO交BO于O.所以BC⊥面APO
所以PA⊥BC
不画图了
连接PO OA
因为O为△ABC的垂心 所以 OA⊥BC
又因为O是P在ABC上的射影 所以 PO⊥△ABC PO⊥BC
所以△POA⊥BC 所以PA⊥BC
连AO交BC于D(设的点) 再连PO (↓代表垂直)
O为垂心→AD↓BC
PO↓面ABCD 又因为BA包含于面ABCD→PO↓BC
AD↓BC PO↓BC PO与AD交于O→BC↓面PAO
→BC↓PA
PO⊥△ABC→PO⊥BC AO⊥BC →BC⊥△POA→BC⊥PA
∵ PO⊥面ABC ∴ PO⊥BC ∵O为垂心，连接AO，并延长交于BC 则有 AO⊥BC AO∈面POA、PO∈面POA，且PO,AO交于O点 ∴BC⊥面POA 又 PA∈面POA 所以 PA⊥BC