如图,点D是圆O的直径CA延长线上一点,点B在圆O上,且OA=AB=AD若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且∠BAE=45°,BE=8,求圆O的半径长.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 12:27:17
如图,点D是圆O的直径CA延长线上一点,点B在圆O上,且OA=AB=AD若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且∠BAE=45°,BE=8,求圆O的半径长.
如图,点D是圆O的直径CA延长线上一点,点B在圆O上,且OA=AB=AD
若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且∠BAE=45°,BE=8,求圆O的半径长.
如图,点D是圆O的直径CA延长线上一点,点B在圆O上,且OA=AB=AD若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且∠BAE=45°,BE=8,求圆O的半径长.
设圆O的半径长为r
则OA=OC=OB=r
∵ΔABC和ΔAEC为圆O的内接三角形,且AC为圆O的半径
∴ΔABC是直角三角形,且∠ABC=90º；ΔAEC是直角三角形,且∠AEC=90º
将OB连接
又OA=AB=AD
所以OA=AB=AD=OA=OC=OB=r
在直角三角形ABC中,AC=2r AB=r ∠ABC=90º,
所以 BC=根号3r ,∠ACB=30º,∠CAB=60º
所以∠DAB=120º
又AB=AD=r,所以ΔABD是等腰三角形,且∠ADB=∠ABD=30º
在ΔAOB中,OA=OB=AB=r,所以ΔAOB是等边三角形,
所以∠OBA=60º
所以∠OBD=∠ABD+∠OBA=30º+60º=90º,即ΔOBD是直角三角形
则DB=根号3r
又ΔAOB是等边三角形,所以∠OAB=60º
又∠BAE=45º
所以∠CAE=15º
在直角三角形AEC中,∠CAE=15º,∠AEC=90º,AC=2r
所以∠ACE=75º,AE=AC*sin∠ACE=2rsin75º
又sin75º=sin(45º+30º)=sin45ºcos30º+cos45ºsin30º=(根号6+根号2）/4
所以AE=2rsin75º=（根号6+根号2）r/2
在ΔABE中,
AB=r,AE=2rsin75º=（根号6+根号2）r/2, BE=8,∠BAE=45º
cos∠BAE=(AB^2+AE^2-BE^2) / 2AB*AE
然后代入数据算出得数即可.
r=4*根号2
做辅助线BP垂直AE于P
由AB=OA=OB知△AOB为等边△＝＞∠BAO=60°
∠BAE=45° ＝＞∠EAO=15°
设PA=PB=x，PE=y
由勾股定理知：2x²=r² ①; x²+y&#...
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做辅助线BP垂直AE于P
由AB=OA=OB知△AOB为等边△＝＞∠BAO=60°
∠BAE=45° ＝＞∠EAO=15°
设PA=PB=x，PE=y
由勾股定理知：2x²=r² ①; x²+y²=8² ②
在△AEO中，∠EAO=15°，AO=OE => AE x（√2+√6）=2OA x （2+√3）。（15°三角形公式）
所以（x+y)/2=r(2+√3）/（√2+√6） ③
由①②③解出 r=4√2.
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