求证ln2^4/2^4+ln3^4/3^4+……+lnn^4/n^4＜2/e
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 22:46:21
求证ln2^4/2^4+ln3^4/3^4+……+lnn^4/n^4＜2/e
求证ln2^4/2^4+ln3^4/3^4+……+lnn^4/n^4＜2/e
求证ln2^4/2^4+ln3^4/3^4+……+lnn^4/n^4＜2/e
楼上看问题错啦
先证明2＜x时,lnx＜x/2
所以lnx^2＜x,所以(lnx^2)/x^2＜1/X
所以ln2^4/2^4+ln3^4/3^4+••••••+lnn^4/n^4＜1/2^2+1/3^2+……+1/n^2
＜1/4+1/9+1/(3•4)+•••••••+1/[(n-1)n]
﹦1/4+1/9+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+••••••+[1/(n-1)-1/n]
﹦1/4+1/9+1/3-1/n
＜25/36
＜2/e
我的方法不太好，仅供参考：
要证 ln2/2^4 + ln3/3^4 + ... +ln4/n^4 < 1/2e ,
应用对数不等式ln(1+x)<=x ,
左边< (2-1)/2^4 + (3-1)/3^4+ ... + (n-1)/ n^4 = (1/1^3-1/1^4) + (1/2^3- 1/2^4) + ... + (1/n^3 - 1/n^4) ,
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我的方法不太好，仅供参考：
要证 ln2/2^4 + ln3/3^4 + ... +ln4/n^4 < 1/2e ,
应用对数不等式ln(1+x)<=x ,
左边< (2-1)/2^4 + (3-1)/3^4+ ... + (n-1)/ n^4 = (1/1^3-1/1^4) + (1/2^3- 1/2^4) + ... + (1/n^3 - 1/n^4) ,
这是一个收敛的正项级数，因此对任意n其小于n=无穷，又Sigma 1/k^3 和 Sigma 1/k^4均收敛，于是
左边< (1/1^3+ 1/2^3 + 1/3^3 + ...) - (1/1^4 + 1/2^4 + 1/3^4 +...) = zeta(3) - zeta(4)< 1/2e 。
zeta(s) 表示Riemann Zeta 函数，zeta(3)和zeta(4)都是已知的。
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