如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E （1）若BC=CD=2,M为线段AC上的一点,且AM:CM=1:2连接BM,求点C到BM的距离（2）证明：BC+CD=AC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 21:10:37
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E （1）若BC=CD=2,M为线段AC上的一点,且AM:CM=1:2连接BM,求点C到BM的距离（2）证明：BC+CD=AC
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E
（1）若BC=CD=2,M为线段AC上的一点,且AM:CM=1:2连接BM,求点C到BM的距离
（2）证明：BC+CD=AC
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E （1）若BC=CD=2,M为线段AC上的一点,且AM:CM=1:2连接BM,求点C到BM的距离（2）证明：BC+CD=AC
∵BC=CD,
∴∠CBD=∠CDB.
又∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB.
∴∠ADC=∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB=∠ADC.
又AB=AD,BC=DC,
∴△ABC≌△ADC. 又∠BAD=60°,∠BCD=120°,
∴∠BAC=∠DAC=30°,∠ACB=∠ACD=60°.
∴△ABC与△ADC都为直角三角形.
∴在Rt△ABC中,AC=2BC=4.
∵AM:CM=1:2,
∴AM=4/3,MC=8/3.
又依题意可知△ABD为等边三角形,
∴∠CBD=∠CDB=90°-60°=30°.
∴∠BEC=∠DEC=90°.
∴在Rt△BCE中,BE=√3,CE=1.
∴EM=MC-CE=5/3.
∴在Rt△BEM中,MB=（2√13）/3.
设C到BM的距离为h,则有
S△BCM=（1/2）·MC·BE=（1/2）·MB·h,
即有,（8/3）·√3=h·（2√13）/3.
∴h=(4√39)/13.
所以,点C到BM的距离为(4√39)/13.
（2）证明：延长BC至点F,使得CF=CD,
又∵∠BCD=120°
∴∠DCF=60°.
∴△DCF为等边三角形.
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60+∠BDC=∠FDC+∠BDC=∠BDF.
又AD=BD,DC=DF,
∴△ADC≌△BDF.
∴AC=BF.
又CD=CF,BF=BC+CF,
∴AC= BC+CD.