已知a,b,c是不全相等的正数,求证：2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b).
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/29 04:37:49
已知a,b,c是不全相等的正数,求证：2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b).
已知a,b,c是不全相等的正数,求证：2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b).
已知a,b,c是不全相等的正数,求证：2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b).
推广1 如果a、b是正数,那么an＋bn≥an-1b＋abn-1（n∈N且n≥2）（当且仅当a＝b时取“＝”号）．
如果将a2＋b2≥2ab写成a2＋b2≥a1b1＋a1b1,结合a3＋b3≥a2b＋ab2,略加比较很容易联想到上面的结论．其证明也是很简单的．
an＋bn－（an-1b＋abn-1）＝an-1（a－b）＋bn-1•（b－a）＝（a－b）（an-1－bn-1）,
∵ a、b为正数,∴ a－b与an-1－bn-1同号或同时为0,即（a－b）（an-1－bn-1）≥0,
∴ an＋bn≥an-1b＋abn-1（当且仅当a＝b时取“＝”号）．
利用这一结论,证明a3＋b3＋c3≥3abc（a＞0,b＞0,c＞0）,较之原教材所采用的方法,不论是方法的设计(突破),还是化简的过程,都要自然、容易,而且紧紧围绕着a2＋b2≥2ab这一重要结论．
进一步研究还会发现,上述题2与题1是有些不同的,因此有更一般的结论：
推广2 如果a、b是正数,n∈N且n≥2,那么an＋bn≥an－xbx＋axbn－x（x∈N,且1≤x≤INT（n/2）,其中INT（n）是指不超过n的最大整数）（当且仅当a＝b时取“＝”号）．
如,已知a、b是正数,则
a4＋b4≥2a2b2； a4＋b4≥a3b＋ab3；
a5＋b5≥a4b＋ab4； a5＋b5≥a3b2＋a2b3；
a6＋b6≥a5b＋ab5；a6＋b6≥a4b2＋a2b4；
a6＋b6≥2a3b3；a7＋b7≥a6b＋ab6；a7＋b7≥a5b2＋a2b5；a7＋b7≥a4b3＋a3b4．
当指数超过3时,根据推广2可以得到多个不等式．利用这些不等式,能较易证明一些不等式．如,若x、y为正数,则x4＋y4≥（1／2）xy（x＋y）2．比较题1和题2不等式的右边,进一步研究又可得到：
推广3 如果a、b是正数,n∈N且n≥2,那么
an＋bn≥an-1b＋abn-1≥an－2b2＋a2bn－2≥an－3b3＋a3bn－3…(当且仅当a＝b时取“＝”号）,即按a的降幂排列,或者按b的升幂排列．
如,若a＞0,b＞0,则a7＋b7≥a6b＋ab6≥a5b2＋a2b5≥a4b3＋a3b4．
对于a＋b≥2 ,若将 看成a（1/2）b（1/2）,则可以得到另一种形式的推广：
推广4 如果a、b是正数,n∈N*,p＞0,q＞0,且p＋q＝n,那么an＋bn≥aqbq＋aqbp（当且仅当a＝b时取“＝”号）．
证明：an＋bn－（apbq＋aqbp）＝ap＋q＋bp＋q－apbq－aqbp＝bp＋q〔（a/b）p－1〕〔（a/b）q－1〕．
①若a＝b＞0,则（a/b）＝1,此时an＋bn＝apbq＋aqbp； ②若a＞b＞0,则（a/b）＞1,此时（a/b）p＞1,（a/b）q＞1,所以an＋bn＞apbq＋aqbp；
③若0＜a＜b,则0＜（a/b）＜1,此时0＜（a/b）p＜1,0＜（a/b）q＜1,所以an＋bn＞apbq＋aqbp．
因此,an＋bn≥apbq＋aqbp（当且仅当a＝b时取“＝”号）
例如,设x∈R＋,n∈N,求证xn＋x－n≥xn-1＋x1-n．
证明：令a＝x＞0,b＝x-1＞0,则
xn＋x-n＝an＋bn≥an－（1／2）b（1／2）＋a（1／2）bn－（1／2）＝xn－（1／2）•x－（1／2）＋x（1／2）x－（n－（1／2））
＝xn-1＋x1-n．