已知函数f(x)=x-ax^3(a>0),g(x)=sinx 当x属于0到二分之π时,g(x)大于等于f(x)恒成立,求a的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 10:16:38
已知函数f(x)=x-ax^3(a>0),g(x)=sinx 当x属于0到二分之π时,g(x)大于等于f(x)恒成立,求a的范围
已知函数f(x)=x-ax^3(a>0),g(x)=sinx 当x属于0到二分之π时,g(x)大于等于f(x)恒成立,求a的范围
已知函数f(x)=x-ax^3(a>0),g(x)=sinx 当x属于0到二分之π时,g(x)大于等于f(x)恒成立,求a的范围
∵当x∈【0,π/2】时,g(x)≥f(x)恒成立
∴g(x)min≥f(x)max
g‘（x）=cosx
∵g‘（x）=cosx≥0在x∈【0,π/2】恒成立
∴g(x)=sinx在x∈【0,π/2】单调递增
∴g(x)min=g（0）=0
f‘（x）=1-3ax²,x∈【0,π/2】
∵Δ=0-4*（-3a）=12a＞0
∴令f‘（x）=0,解得x=√1/3a或x=-√1/3a（舍）
1°当x=√1/3a∈【0,π/2】即a≥4/3π²时,
f（x）在x∈【0,√1/3a】单调递增,在x∈【√1/3a,π/2】单调递减
∴f（x）max=f（√1/3a）=-2/3√1/3a≤0恒成立
2°当x=√1/3a＞π/2即a＜4/3π²时,
f（x）在x∈【0,π/2】单调递增
∴f（x）max=f（π/2）=π/2-a*（π/2）³
∵f（x）max=π/2-a*（π/2）³≤0,∴a≥4/π²
∴4/π²≤a＜4/3π²
综上所述,a∈【4/π²,+∞）
有不懂的地方可以再问,
令h(x)=g(x)-f(x)=sinx-x+ax^3;h(0)=0,只要h'(x)>=0即可，h'(x)=cosx-1+3ax^2,注意到h'(0)=0，所以只要h"(x)>=0即可，h"(x)=-sinx+6ax,h"(0)=0,只要h"'(x)>=0,h"'(x)=-cosx+6a>=0,a>=max{(cosx)/6}=1/6.