已知AB是抛物线过焦点的弦,若弦AB的倾斜角是α,求证：2P=∣AB∣sin2α
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 17:24:45
已知AB是抛物线过焦点的弦,若弦AB的倾斜角是α,求证：2P=∣AB∣sin2α
已知AB是抛物线过焦点的弦,若弦AB的倾斜角是α,求证：2P=∣AB∣sin2α
已知AB是抛物线过焦点的弦,若弦AB的倾斜角是α,求证：2P=∣AB∣sin2α
设抛物线为y²=2px,设点A(x1,y1)B(x2,y2)
则AP=x1+p/2,PB=x2+p/2,∴AB=x1+x2+p
交点为(p/2,0)
若直线AB不垂直X轴,设直线AB为：y=k(x-p/2),代入抛物线方程,消去y得k²x²-(pk²+2p)x+k²p²/4=0,故x1+x2=(pk²+2p)/k²=p+2p/k²
故|AB|=p+2p/k²+p=2p(1+1/k²)=2p(1+cot²a)=2pcsc²a=2p/sin²a
∴2p=|AB|sin²a ...(1)
若直线AB垂直a=90°,|AB|即为通径长2p,故2p=|AB| 满足（1）式
∴得证
∵弦AB的倾斜角为α，且过焦点F
∴设弦AB的方程为：y=tanα（x-p/2）
∵抛物线方程为y^2=2px(p>0)
消去y： tan²α(x-p/2)²=2px
tan²α（x²-px+p²/4）-2px=0
tan²α*x...
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∵弦AB的倾斜角为α，且过焦点F
∴设弦AB的方程为：y=tanα（x-p/2）
∵抛物线方程为y^2=2px(p>0)
消去y： tan²α(x-p/2)²=2px
tan²α（x²-px+p²/4）-2px=0
tan²α*x²-(tan²α+2)px+p²·tan²α/4=0
设b=tan²α（为了好看，又方便）
根据弦长公式|AB|=[√(1+k²)·√△]/a 其中K为直线方程的斜率，A为消去Y后方程的x²前的系数，
△=[(b+2)·p]²-4b·p²·b/4
=b²p²+4p²+4bp²-b²p²
=4p²(1+b)
∴|AB|=[√(1+tan²α)·√(1+tan²α)·4p²]/tan²α
=2p·(1+tan²α)/tan²α
=2p·[(sin²α+cos²α)/cos²α]·cos²α/sin²α
=2p/sinα^2
即证
收起