x y 是自然数 解方程x^2-2xy+y^2+5(x+y)=1500
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 01:42:44
x y 是自然数 解方程x^2-2xy+y^2+5(x+y)=1500
x y 是自然数 解方程x^2-2xy+y^2+5(x+y)=1500
x y 是自然数 解方程x^2-2xy+y^2+5(x+y)=1500
一共有8组解,x和y可以互换
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(x-y)^2=1500-5(x+y)
(x-y)^2=5(300-x-y)
x-y 可能是5的倍数
0^2=5(300-300) x=150,y=150
5^2=25=5(300-295) x=145,y=150
10^2=100=5(300-280) x=135,y=145
15^2=225=5(300-255) x=120,y=135
20^2=400=5(300-220) x=100,y=120
25^2=625=5(300-175) x=75,y=100
30^2=900=5(300-120) x=45,y=75
35^2=1225=5(300-55) x=10,y=45
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原方程可化为(x-y)^2+5(x+y)=1500,x,y均为自然数，则0≤x+y≤300,并发现x与y是对称关系，则只需研究一个即可。以x为变量，方程化为x^2+(5-2y)x+y^2+5y-1500=0, ∆=(5-2y)^2-4(y^2+5y-1500)≥0
求解出0≤y≤150,则亦有0≤x≤150,根据韦达定理求解x={(2y-5)±√∆}/2，由题知...
全部展开
原方程可化为(x-y)^2+5(x+y)=1500,x,y均为自然数，则0≤x+y≤300,并发现x与y是对称关系，则只需研究一个即可。以x为变量，方程化为x^2+(5-2y)x+y^2+5y-1500=0, ∆=(5-2y)^2-4(y^2+5y-1500)≥0
求解出0≤y≤150,则亦有0≤x≤150,根据韦达定理求解x={(2y-5)±√∆}/2，由题知可得，x为自然数，∆=6025-40y,应满足∆=a^2,其中a取值范围5,15,25,35,45,55,65,75，否则不能开方后得到x的自然数解。通过进一步求解，可得，a=5时，x=y=150，满足；a=15时，x=135或150，y=145，满足；a=25时，x=120或145，y=135，满足；a=35时，x=100或135，y=120，满足；a=45时，x=75或120，y=100，满足；a=55时，x=45或100，y=75，满足；a=65时，x=10或75，y=45，满足；a=75时，x=45，y=10，满足。（通过解答发现，前面所说的x与y的对等性）
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