已知函数f（x）=logax（a＞0,a≠1）,如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f（x）|
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 01:11:29
已知函数f（x）=logax（a＞0,a≠1）,如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f（x）|
已知函数f（x）=logax（a＞0,a≠1）,如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f（x）|
已知函数f（x）=logax（a＞0,a≠1）,如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f（x）|
分析：根据对数函数的性质进行解题,在解题过程中注意对a要分a＞1时,|f（x）|=f（x）=logax在[3,+∞）上为增函数和0＜a＜1时f（x）|=-f（x）=-logax在[3,+∞）上为增函数两种情况进行讨论．
当a＞1时,对于任意x∈[3,+∞）,都有f（x）＞0．
所以,|f（x）|=f（x）,而f（x）=logax在[3,+∞）上为增函数,
∴对于任意x∈[3,+∞）,有f（x）>=loga3．
因此,要使|f（x）|
当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.
所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.
只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3. ...
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当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.
所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.
只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.
当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,
∴|f(x)|=-f(x).
∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.
∴对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，
只要-loga3≥1成立即可，∴loga3≤-1=loga(1/a),即1/a≤3,∴1/3≤a＜1.
综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［1/3，1）.
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