已知函数fx=ax-Inx,若fx>1在区间(1,正无穷)内恒成立,则实数a的范围?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 14:24:41
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1可取吧

先求f(x)在x>1的最小值
f'(x)=a-1/x>=a-1,
若a>1,则f'(x)>0, 函数单调增,最小值f(1)=a>1,符合题意;
若01为极小值点,f(1/a)=1+lna<1, 不符题意
若a<=0,则f'(x)<0,函数单调减,f(1)=a<0, 不符题意。
综合得:a>1
综合得:a>=1

因为ax-lnx>1,x>1所以a>(1+lnx)/x,令F(x)=(1+lnx)/x,F'(x)=1/x^2-(1+lnx)/x^2=-lnx/x^2,因为x>1,所以F'(x)<0,所以F(x)单调递减,所以F(x)<F(1)=1,所以a≧1