求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/25 18:45:38
求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值解1:y=2的2x次方-2的x-1次方+1y=2^

求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值
求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值

求函数y=2的2x次方-2的x-1次方+1的最小值
解1:
y=2的2x次方-2的x-1次方+1
y=2^(2x)-2^(x-1)+1
y=(2^x)^2-(2^x)/2+1
令:2^x=m,代入上式,有:
y=m^2-m/2+1
y'=2m-1/2
令:y'>0,即:2m-1/2>0,解得:m>1/4
即:m∈(1/4,∞)时,y为单调增函数;
令:y'<0,即:2m-1/2<0,解得:m<1/4
即:m∈(-∞,1/4)时,y为单调减函数.
所以,当m=1/4时,y有最小值.
这个最小值是:y最小=(1/4)^2-(1/4)/2+1=15/16
即:所求最小值是15/16.

解2:
y=2的2x次方-2的x-1次方+1
y=2^(2x)-2^(x-1)+1
y=(2^x)^2-(2^x)/2+1
令:2^x=m,代入上式,有:
y=m^2-m/2+1
y=m^2-2×(1/4)×m+(1/4)^2-(1/4)^2+1
y=(m-1/4)^2-(1/4)^2+1
y=(m-1/4)^2+15/16
因为:(m-1/4)^2≥0
所以:y≥15/16
即:y的最小值是15/16.

令a=2^x
则2^(x-1)=2^x/2=a/2
y=a²-a/2+1
=(a-1/4)²+15/16
a=2^x>0
所以a=1/4,最小是15/16