问一个高二文数数列系列的一个题已知{An}是各项都是正数的数列,Sn为其前n项和,且a1=1,Sn=1/2（an+1/an） （1）求S2的平方与S3的平方（2）求数列{an}的通项公式；（3）求证：1/2S1+1/3S2+`````+1/[（n+1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 14:54:36
问一个高二文数数列系列的一个题已知{An}是各项都是正数的数列,Sn为其前n项和,且a1=1,Sn=1/2（an+1/an） （1）求S2的平方与S3的平方（2）求数列{an}的通项公式；（3）求证：1/2S1+1/3S2+`````+1/[（n+1
问一个高二文数数列系列的一个题
已知{An}是各项都是正数的数列,Sn为其前n项和,且a1=1,Sn=1/2（an+1/an）
（1）求S2的平方与S3的平方
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求证：1/2S1+1/3S2+`````+1/[（n+1）Sn]小于2[1-1/（Sn+1）]
问一个高二文数数列系列的一个题已知{An}是各项都是正数的数列,Sn为其前n项和,且a1=1,Sn=1/2（an+1/an） （1）求S2的平方与S3的平方（2）求数列{an}的通项公式；（3）求证：1/2S1+1/3S2+`````+1/[（n+1
（1）比较简单,就是一元二次方程计算.S2²=2,S3²=3.
（2）因为An=Sn-S
所以Sn=1/2(An+1/An)
Sn=1/2×[Sn-S+1/(Sn-S)]
==>Sn=1/2×[(Sn-S)²+1]/(Sn-S)
==>2Sn(Sn-S)=(Sn-S)²+1
==>2S²n-2Sn*S=S²n-2Sn*S+S²+1
==>2S²n=S²n+S²+1
==>S²n-S²=1
所列数列{Sn}是一个以S²1=1为首项 1为公差的等差数列
所以S²n=1+(n-1)*1=n ==>Sn=√n
所以An=Sn-S=√n=√(n-1)
An=√n-√(n-1)也满足A1=1
所以An=√n-√(n-1)
（3）首先要看出
2*（1/√1-1/√2）+……+2*[1/√n-1/√（n+1）]=2*[1-1/（Sn+1）]
接着只要证明1/[（n+1）Sn]=1/[√n*（n+1）]＜2*[1/√n-1/√（n+1）]即可证明原式.
现在证明1/[√n*（n+1）]＜2*[1/√n-1/√（n+1）]
通分作差.
2*[1/√n-1/√（n+1）]-1/[√n*（n+1）]
=[√(n²+4n+1)-√（n²+4n）]/[√n*（n+1）]
＞0,原式得证.
1)2Sn=an+1/an 将an=Sn-Sn_1带入得Sn2-Sn_12=1 所以{Sn2}为等差数列 所以Sn2=n
1）2）解决了 3)不会了