求数列2,7,16,30,50.的通式

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 21:07:45
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求数列2,7,16,30,50.的通式

求数列2,7,16,30,50.的通式
设数列的通项为an
令an-a(n-1)=bn 并且a1=2,a2=7
那么,bn-b(n-1)=n+2 (n=2,3,4,5,6,7.)
并且,b1=5,b2=9
所以,b2-b1=4
b3-b2=5
b4-b3=6
.
bn-b(n-1)=n+2
解出,bn-b1=4+5+6+...+(n-2)
bn=(n+1)*(n+4)/2
这样,an-a(n-1)=(n+1)*(n+4)/2=1/2(n^2+5n+4)
所以,a2-a1=1/2(1^2+5*1+4)
a3-a2=1/2(2^2+5*2+4)
.
an-a(n-1)=1/2[(n-1)^2+5*(n-1)+4]
所有的方程相加,得到
an-a1=1/2[1^2+2^2+3^2+.+(n-1)^2]+5/2[1+2+3+4+.+(n-1)]+2(n-1)
=1/2 *1/6*(n-1)n(2n-1)+5/4(n-1)n+2(n-1)
=1/12*(n-1)(n+3)(n+4)
所以,an=1/6*(n-1)(n+3)(n+4)+2
这里利用到:1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6*n*(n+1)(2n+1)

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