如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为AC边上一点,连接BD,以BD为腰作等腰Rt△BDE,DE交BC于点F(1)求证△ABD∽△CBE(2)连接CE,求证BC-CE=√2CD(3)若AB=2,D为AC中点,请直接写出线段DF的长度为__PS如有根
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 21:49:18
如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为AC边上一点,连接BD,以BD为腰作等腰Rt△BDE,DE交BC于点F(1)求证△ABD∽△CBE(2)连接CE,求证BC-CE=√2CD(3)若AB=2,D为AC中点,请直接写出线段DF的长度为__PS如有根
如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为AC边上一点,连接BD,以BD为腰作等腰Rt△BDE,DE交BC于点F
(1)求证△ABD∽△CBE
(2)连接CE,求证BC-CE=√2CD
(3)若AB=2,D为AC中点,请直接写出线段DF的长度为__
PS如有根号麻烦用√表示
如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为AC边上一点,连接BD,以BD为腰作等腰Rt△BDE,DE交BC于点F(1)求证△ABD∽△CBE(2)连接CE,求证BC-CE=√2CD(3)若AB=2,D为AC中点,请直接写出线段DF的长度为__PS如有根
(1)
∵ △ABC 和△DBE都是等腰直角三角形
∴ BA/BC=BD/BE=1/√2
∵∠ABD=∠CBE =45°-∠DBC
∴△ABD∽△CBE
(2)
AD/CE = 1/√2,即:CE = √2 AD
∵BC=√2AC
∴ BC-CE =√2AC-√2AD=√2(AC–AD)=√2 CD
(3)
易知:BD = √5DH =CH=√2/2
∴BH =√(BD^²-DH^²)=3√2/2
∵△BDH∽△BFD
∴BD^²=BH*BF
∴BF=5√2/3
∴DF =√(BF^²-BD^²)=√5/3
(1)∠ABC = ∠DBE = 45° ==> ∠ABD = ∠CBE
BA:BC = BD:BE = √2
符合相似三角形中的SAS情况.所以△ABD∽△CBE
(2) 由(1)可知,CE:AD = BC:BA,而 BC:BA = √2,所以
BC - CE = √2(BA - AD) = √2 (AC- AD) = √2CD
(3) 过F做AC的垂线,交AC于点P.那么通过比较三个角可以得到△ABD∽△PDF,
所以PD:PF = AB:AD = 2:1,即PD = 2PF.
△CPF是等腰直角三角形,所以PC = PF.
由此可以得知,DC = PC+ PD = 3PF
而DC = AC / 2 = 2/2 = 1,所以PF = 1/3,PD = 2/3
根据勾股定理,DF = √(PF^2 + PD^2) = √5 / 3
以上为纯初中算法,其实(3)也可直接利用三角函数去计算,tan∠ABC = 1,tan∠ABD = 1/2 可以算出tan∠CBD = 1/3.
因此DF = BD/3.而BD =√(AB^2 + AD^2) = √5
三角形abd∽三角形cbe
ab/CB=BD/EB=cos45°
∠abd=45-∠dbc
∠cbe=45-∠dbc
同角的余角相等
所以(“sas相似”)
bc=√2ac ce=√2ad (因为相似)
∴bc-ce=√(ac-ad)=√2cd
第三问不会