已知f(x)是R上的奇函数,且恒有f(x+2)=-f(x) 又当x∈〔0,1〕时,f(x)=x^3.求 当x∈〔1,5〕时,求f(x)的解析式.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 21:26:17
已知f(x)是R上的奇函数,且恒有f(x+2)=-f(x) 又当x∈〔0,1〕时,f(x)=x^3.求 当x∈〔1,5〕时,求f(x)的解析式.
已知f(x)是R上的奇函数,且恒有f(x+2)=-f(x) 又当x∈〔0,1〕时,f(x)=x^3.求 当x∈〔1,5〕时,求f(x)的解析式.
已知f(x)是R上的奇函数,且恒有f(x+2)=-f(x) 又当x∈〔0,1〕时,f(x)=x^3.求 当x∈〔1,5〕时,求f(x)的解析式.
结果是分段函数;
因为f(x+2)=-f(x)且f(-x)=-f(x)
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[f(-x)]=f(x)
f(x)是以4为周期的周期函数
因为f(x)为奇函数,且过原点,有周期函数关于原点对成可知
f(x)=x^3 x属于（-1,1）
又,当x属于(-3,-1)时,x+2属于（-1,1）,故f(x+2)=(x+2)^3=-f(x)
所以,x属于(-3,-1)时,f(x)=(x+2)^3.
这样,我们得到x在(-3,-1)和（-1,1）上f(x)的解析式.
又,当x属于（1,3）时,x-4属于(-3,-1),所以
f(x-4)=（x-2）^3=f(x) %%这步看懂了吗?%%
当x属于（3,5）时,x-4属于（-1,1）,所以
f(x-4)=(x-4)^3=f(x) %%这步呢?%%
综上所述：
f(x)= （x-2）^3 x属于(1,3)
f(x)=(x-4)^3 x属于(3,5)
认真看我写的每一步,这上面不好书写,最好在草稿纸上自己用数学符号抄写一遍你就懂了!
f(x)=-f(-x) ...(1)
f(x+2)=-f(x) ...(2)
f(x+4)=-f(x+2+2)=f(x) ...(3)
(1)得f(x)=x^3 当x∈〔-1,1〕时
(2)得f(x+2)=-f(x)=-x^3
所以f(x)=-(x-2)^3 当x∈〔1,3〕时 ...(4)
(3)得f(x+4)=f(x)=x^3
所以f(x)=(x-4)^3 当x∈〔3,5〕时 ...(5)
(4) (5)合并
f(-x)=-f(x)
易知x∈(-1,0)时，f(x)=x^3
任意x∈(-1,0)，x+2∈(1,2)而f(x+2)=-f(x) =-x^3
令x+2=t,t∈(1,2),x=t-2,f(t)=-(t-2)^3.
类似的，有x∈〔0,1〕可知区间（2，3）的表达式。递推即得。
x∈〔-1，0〕,-x∈〔0,1〕
f(x)=-f(-x)=x^3
x∈〔-2，-1〕,x+2∈〔0,1〕
f(x)=-f(x+2)=-(x+2)^3
x∈〔-3，-2〕,x+2∈〔-1,0),-x-2∈〔0,1〕
f(x)=-f(-x)=f(-x-2)=-(x+2)^3
同理x∈〔-4，-3〕，x+4∈〔0,1〕
f(x)=-f(x+2)=...
全部展开
x∈〔-1，0〕,-x∈〔0,1〕
f(x)=-f(-x)=x^3
x∈〔-2，-1〕,x+2∈〔0,1〕
f(x)=-f(x+2)=-(x+2)^3
x∈〔-3，-2〕,x+2∈〔-1,0),-x-2∈〔0,1〕
f(x)=-f(-x)=f(-x-2)=-(x+2)^3
同理x∈〔-4，-3〕，x+4∈〔0,1〕
f(x)=-f(x+2)=f(x+4)=(x+4)^3
x∈〔-5，-4),x+4∈〔-1,0),-x-4∈〔0,1〕
f(x)=-f(-x)=f(-x-2)=-f(-x-4)=(x+4)^3=-(x+2)^3=x^3
又因为是奇函数
所以x∈〔1，5），f(x)=-(x+2)^3=x^3
收起
=3