过双曲线x2/16-y2/9=1的右焦点F2作斜倾角为π/4的弦AB,求弦长AB及△F1AB的周长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 22:07:37
过双曲线x2/16-y2/9=1的右焦点F2作斜倾角为π/4的弦AB,求弦长AB及△F1AB的周长
过双曲线x2/16-y2/9=1的右焦点F2作斜倾角为π/4的弦AB,求弦长AB及△F1AB的周长
过双曲线x2/16-y2/9=1的右焦点F2作斜倾角为π/4的弦AB,求弦长AB及△F1AB的周长
基本步骤:1.易知右焦点为F2（5,0）直线AB的方程 l ：y=x-5代入双曲线
消去y,化简得7x^2-160x+544=0
算得△=160^2-4*7*544=10368
（根号△）=72（根号2） （算一下应该没错）
由公式 |AB|=【根号（1+k^2)】 ×（根号△）/|a| （其中k为斜率,a为7x^2-160x+544=0的二次项系数） =（根号1+1）×72（根号2）/7
=144 / 7
2.△F1AB的周长=F1A+F1B+AB=(2a+AF2)+(2a+BF2)+AB （双曲线定义,a 半长轴长）
=AB+AB+4a=288 / 7 + 8
基本思路是这样,如有计算错误可以指出,改正
∵x²/16－y²/9＝1
∴a＝4，b＝3
∴c＝√(a²＋b²)＝5
∴F2(5,0)
∵α＝π/4
∴k＝tanα＝1
∴直线AB：y＝x－5（点斜式）
代入双曲线方程，有：
x²/16－(x－5)²/9＝1
9x²－16x²＋16...
全部展开
∵x²/16－y²/9＝1
∴a＝4，b＝3
∴c＝√(a²＋b²)＝5
∴F2(5,0)
∵α＝π/4
∴k＝tanα＝1
∴直线AB：y＝x－5（点斜式）
代入双曲线方程，有：
x²/16－(x－5)²/9＝1
9x²－16x²＋160x－400＝144
7x²－160x＋544＝0
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1，x2为方程两根
根据韦达定理，有：
x1＋x2＝160/7，x1x2＝544/7
|AB|²＝(x1－x2)²＋(y1－y2)²＝2(x1－x2)²＝2[(x1＋x2)²－4x1x2]＝2(25600/49－4×544/7)＝20736/49
|AB|＝144/7
∵F1A－F2A＝F1B－F2B＝2a
C(△F1AB)＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝4a＋2(|F2A|＋|F2B|)＝4a＋2|AB|＝16＋288/7＝400/7
答：AB的弦长为144/7，△F1AB的周长为400/7。
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