在平面内有n个圆,任意两个圆都有两个交点,任意三个圆不交于同一点,记这n在平面内有n个圆,任意两个圆都有两个交点,任意三个圆不交于同一点,记这n个圆把平面分成的区域个数为f(n)(1)求f(1),
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 16:25:04
在平面内有n个圆,任意两个圆都有两个交点,任意三个圆不交于同一点,记这n在平面内有n个圆,任意两个圆都有两个交点,任意三个圆不交于同一点,记这n个圆把平面分成的区域个数为f(n)(1)求f(1),
在平面内有n个圆,任意两个圆都有两个交点,任意三个圆不交于同一点,记这n
在平面内有n个圆,任意两个圆都有两个交点,任意三个圆不交于同一点,记这n个圆把平面分成的区域个数为f(n)
(1)求f(1),f(2).f(3),f(4)
(2)猜想f(n)的表达式,并给出证明
用数学归纳法证明~
在平面内有n个圆,任意两个圆都有两个交点,任意三个圆不交于同一点,记这n在平面内有n个圆,任意两个圆都有两个交点,任意三个圆不交于同一点,记这n个圆把平面分成的区域个数为f(n)(1)求f(1),
数学归纳法,呵呵,好久没有用这个东东了,今天看到这个题有点兴趣,具体解答如下（不对不要骂我,很久没做题目了,忘记格式了）：
（1）题目说明任意两个圆都在两个交点,任意三个圆都不交于相同一点.
f(1)=2,
f(2)=4,
f(3)=8,
f(4)=14,
（2）猜想f(n)=n*(n-1)+2
证明：1,n=1时,f(n)=2,猜想成立
2,假设n=k时,f（k）=k*(k-1)+2成立
那么f(k+1)现在证明也成立.
当第K+1个圆与原来的K个圆都相割,增加的区域是多少呢,这个是本题的关键.当第K+1个圆与K个圆相割时,就会多出2(k-1)的区域还有一个K+1的公共区域以及所有圆外面的区域也会被分割,公共区域每次都会被分割,外面的区域每次也会被分割.意思就是多出的区域应该就是2(k-1)+2=2k,这个比较难理解.
所以f(k+1)= f(k)+2k
=K*(k-1)+2+2k
=k*k+k+2
=k(k+1)+2
=(k+1)(K+1-1)+2
f(k+1)证明也成立.
也就是说,当n属于自然数时,f(n)=n(n-1)+2都成立.
写得这么辛苦,加点分吧.
f(1)=2
f(2)=4
f(3)=8
f(4)=14
an+1-an=2n
an-an-1=2(n-1)
an-1-an-2=2(n-2)
:
a2-a1=2(2-1)
an-a1=n(n-1)
an=n(n-1)+2 (这是导出不是猜想）
用数学归纳法证明
n=1 a1=2 成立
全部展开
f(1)=2
f(2)=4
f(3)=8
f(4)=14
an+1-an=2n
an-an-1=2(n-1)
an-1-an-2=2(n-2)
:
a2-a1=2(2-1)
an-a1=n(n-1)
an=n(n-1)+2 (这是导出不是猜想）
用数学归纳法证明
n=1 a1=2 成立
设n=m时 am=m(m-1)+2
n=m+1时
am+1-am=2m
am-am-1=2(m-1)
am-1-am-2=2(m-2)
:
a2-a1=2(2-1)
am-1-a1=m(m+1)
am+1=(m+1)m+2 成立
收起
猜想：f(n)=n(n-1)+2
直接k->k+1的情况：
假设n=k时成立，f(k)=k(k-1)+2，当n=k+1时，有第k+1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点将第k+1个圆分为2k段弧，而每个弧将它所在的区域分成两部分，也就是每个被分割的部分增加了一部分，这样就多出了2k个区域，即f(k+1)=f(k)+2k=k(k+1)+2。...
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猜想：f(n)=n(n-1)+2
直接k->k+1的情况：
假设n=k时成立，f(k)=k(k-1)+2，当n=k+1时，有第k+1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点将第k+1个圆分为2k段弧，而每个弧将它所在的区域分成两部分，也就是每个被分割的部分增加了一部分，这样就多出了2k个区域，即f(k+1)=f(k)+2k=k(k+1)+2。
收起