证明44……488……89是完全平方数,有n个4,（n—1）个8
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 16:48:59
证明44……488……89是完全平方数,有n个4,（n—1）个8
证明44……488……89是完全平方数,有n个4,（n—1）个8
证明44……488……89是完全平方数,有n个4,（n—1）个8
44……488……89
=44.488.88+1 (n个4,n个8)
=4*11.1*10^n+8*11.1+1 (n个1,n个1)
=(4/9)(99.9)*10^n+(8/9)(99.9)+1 (n个9,n个9)
=(4/9)(10^n-1)*10^n+(8/9)(10^n-1)+1
=(4/9)*10^2n-(4/9)*10^n+(8/9)*10^n-8/9+1
=(4/9)*10^2n+(4/9)*10^n+1/9
=(1/9)(4*10^2n+4*10^n+1)
=[(1/3)(10^n+1)]^2
是一个完全平方数
得证
首先你可以先验证49=7²，4489=67²，444889=667²，那么可猜测44……488……89=66……67²，(n-1)个6，证明如下：（用数学归纳法）
显然当n=1时49=7²成立，，假设当n=k时成立（即44……488……89=66……67²，k个4，k-1个8，k-1个6），那么当n=k+1时有：66……67...
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首先你可以先验证49=7²，4489=67²，444889=667²，那么可猜测44……488……89=66……67²，(n-1)个6，证明如下：（用数学归纳法）
显然当n=1时49=7²成立，，假设当n=k时成立（即44……488……89=66……67²，k个4，k-1个8，k-1个6），那么当n=k+1时有：66……67²=（6*10^k+66……67）²=3.6*10^(2k+1)+2*6*10^k*66……67+66……67²=3.6*10^(2k+1)+800……004*10^k（一共是k-1个0）+44……488……89，你仔细观察下就知道，刚好36+8=44，然后最后一个4加800……004中的4得到一个8，从而得证。可能写得不是很清楚，不明白的地方再问我。
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