求大学线性代数试卷,大一的(有答案详解)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 16:17:14
求大学线性代数试卷,大一的(有答案详解)求大学线性代数试卷,大一的(有答案详解)求大学线性代数试卷,大一的(有答案详解)武汉理工大学考试试题纸(A卷)课程名称线性代数专业班级全校07级本科题号\x09

求大学线性代数试卷,大一的(有答案详解)
求大学线性代数试卷,大一的(有答案详解)

求大学线性代数试卷,大一的(有答案详解)
武汉理工大学考试试题纸(A卷)
课程名称 线 性 代 数 专业班级 全校07级本科
题号\x09一\x09二\x09三\x09四\x09五\x09六\x09七\x09八\x09九\x09十\x09总分
题分\x0915\x0915\x0932\x0914\x0914\x0910\x09\x09\x09\x09\x09100
备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设 ,则 =____________.
2、设 ,且 ,则 =____________.
3、已知 , 是三元齐次线性方程组 的两个不同的解,且 ,则该方程
组的通解为____________.
4、已知向量组 , , , ,则
=____________.
5、设三阶方阵 与对角阵 相似,则 = .
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1、设 是n维列向量,且 ,则 =( ).
(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D)
2、设 , , ,则 =( ).
(A) 1 (B) 2 (C) 1/2 (D) 4
3、设 是向量空间 的一个基,则下列仍是 的一个基的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
4、二次型 是正定二次型,则 应满足( ).
(A) (B) (C) (D)
5、设A为 阶方阵, 为 的伴随矩阵,且 ,则 的秩为( ).
(A) (B) (C) 1 (D) 0
三、计算题(每小题8分,共32分)
1、已知 是行列式 的元素 的代数余子式,计算 ;
2、设 , ,求矩阵 ,使其满足 ;
3、设 为n阶方阵,且 ,计算 ;
4、设 , , , ,求: 、 为
何值时, 能由 线性表示,且表示唯一,并求出表示式.
四、(14分) 已知线性方程组

(1)\x09求:a为何值时,方程组有唯一解、无解、有无穷多个解;
(2)\x09在方程组有无穷多个解时,用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解.
五、(14分) 已知实二次型 ,
(1)写出 的矩阵 ;
(2)求 的秩;
(3)求正交变换 (必须写出正交变换矩阵P),把 化为标准形.
六、证明题(共10分)
1、(6分) 设 是齐次线性方程组 的一个基础解系,证明: , , , 也是该方程组的一个基础解系;
2、(4分) 设 为 阶方阵,且 , ,证明: .

武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
课程名称:线性代数 ( A 卷)
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、 ; 2、 ; 3、k( ),k R; 4、3; 5、 3.
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、C 2、A 3、B 4、D 5 、D
三、解答题(每小题8分,共32分)
1、 ………………………………………………………………(3分)
………………………………………………………………(8分)
2、 由 得 ……………………………………………………………(2分)
因 ~
~ ………………………………………………(6分)
所以 X= ………………………………………………………………(8分)
3、 因 , ……………………………………………………………(2分)
所以 …………………………………………………………(4分)
= = …………………………………………………………(6分)
= = ………………………………………………………………(8分)
4、记 ,设 . ……………………………………… (2分)
解法一: ~
~ ………………… …………………(4分)
故当 且 时,方程组有唯一解,即 能由 线性表示,且表示式唯一; ………(6分)
此时, ~ , . ………………… …………………(8分)
解法二: ………………… …………………(2分)
故当 且 时,方程组(1)有唯一解,即 能由 线性表示,且表示式唯一;……(4分)
此时, ~
~ ~ ………… …………………(4分)
………… ……………………………………(8分)
四(14分)、
系数矩阵为 ,增广矩阵为 ,
(1)解法一 B ~ ~ … …………………(4分)
当 且 时, ,方程组有唯一解;
当 时,B ~ , ,方程组无解;
当 时,B ~ , ,方程组有无穷多个解. ………………(7分)
解法二 … ………… … …………………(4分)
当 且 时, , ,方程组有唯一解;
当 时, ~ , ,方程组无解;
当 时, ~ , ,方程组有无穷多个解. … …………… ……………… ………………(7分)
(2) 在方程组有无穷多个解时,得同解方程组 ,取 ,得原方程组一特解 ; ………………………………………………………………(9分)
在 中取 ,得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为 , ; ………………………………………………(12分)
所以原方程组的通解为 , 为任意常数. …………………………………(14分)
注:此题基础解系有很多种表示形式,改卷时需注意.
五(14分)、(1) 的矩阵 ; …………………………………………………………………(2分)(2)因 , ,所以 的秩为2; …………………………………………(3分)
(3)由 ,得A的特征值为 , . ……………(6分)

当 时,解方程 ,由 = ~ ,得基础解系 ;
当 时,解方程 ,由 = ~ ,得基础解系 ;
把 单位化,得 , …………………………………………(12分)
则有正交阵 和正交变换 ,把 化为标准形
. ………………………………………………………………………(14分)
注:此题基础解系有很多种表示形式,故正交阵 有多种形式,改卷时需注意.
六、证明题
1、(6分)证法一:由其次线性方程组解的性质知 , , , 都是 的解; ……………………………………………………………(2分)
则有 , , ,
, 因 所以 K 可逆,
或 ~ , 所以 K 可逆,从而 .
又因为 是 的一个基础解系,故它们线性无关, ,于是 ,解向量组 线性无关,故是该方程组的一个基础解系. ………………………………………………(6分)
证法二:由其次线性方程组解的性质知 , , , 都是 的解; ……………………………………………………………(2分)
设 ,则有
,
因为 是 的一个基础解系,它们线性无关,故有

其系数行列式为 , 方程组有唯一零解 ,所以解向量组 线性无关,故是该方程组的一个基础解系.………………………………………………(6分)
2、证法一: 因为 ,所以 , ……………………………………………………………(1分)
则有 ,
故有 . ………………………………………………………………………………(4分)
证法二: ,因此
. ………………………………………………………………………………(3分)
又因为 ,所以有 . ………………………………………………………………(4分)