在RT△ABC中,角C=90度,过AB上一点P,分别向AB,BC做垂线,交AC与E,叫BC与F,使得PE=PF=d,AB=L,用d和L表示AC,BC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 14:02:26
在RT△ABC中,角C=90度,过AB上一点P,分别向AB,BC做垂线,交AC与E,叫BC与F,使得PE=PF=d,AB=L,用d和L表示AC,BC
在RT△ABC中,角C=90度,过AB上一点P,分别向AB,BC做垂线,交AC与E,叫BC与F,使得PE=PF=d,AB=L,用d和L表示AC,BC
在RT△ABC中,角C=90度,过AB上一点P,分别向AB,BC做垂线,交AC与E,叫BC与F,使得PE=PF=d,AB=L,用d和L表示AC,BC
因为PE⊥AC,PF⊥BC,且∠C=90°,易证四边形PECF为矩形,而PE=PF=d,所以PECF又为正方形,四边均相等,PE=PF=CE=CF=d
设AC=x,BC=y,则AE=x-d,BF=y-d
易证△AEP∽△PFB（一对儿直角,以及一对儿可由两线平行判断出的角）,于是有AE/EP=PF/FB,代入含有x,y,d的表达式：(x-d)/d=d/(y-d)
可以化简此式,最后得到xy=d(x+y) ①
在Rt△ABC中运用勾股定理：AB^=AC^+BC^,于是x^+y^=L^ ②
①式两边同时平方：
(xy)^=d^(x^+y^+2xy)
代入②式到等式右边：
(xy)^=d^(2xy+L^)
(xy)^-2d^(xy)-d^L^=0
上式显然是关于未知数(xy)的一元二次方程,根据求根公式有：
(xy)1,2={-(-2d)±√[(-2d)^-4*1*(-d^L^)]} / (2*1)
=d^±d*√(d^+L^)
显然,x,y都是正数,所以xy的值也为正,所以舍去xy=d^-d*√(d^+L^)的值（此值很容易证明为负）
于是,可得xy的唯一值为：
xy=d^+ d*√(d^+L^)
代入①式,可得：
x+y=d+√(d^+L^)
为了书写方便,设常数k=d+√(d^+L^) （显然,k值由d,L两个常数决定,亦为常数）,于是有：
x+y=k
xy=kd
显然,x,y的值必是关于t的方程：t^-kt+kd=0的两个根,对此方程运用求根公式求根：
t1,2={-(-k)±√[(-k)^-4*1*kd]} / (2*1)
=[k±√(k^-4kd)]/2
即,x,y或者说是AC,BC的值[k±√(k^-4kd)]/2,由于AC,BC没有规定谁长谁短,故它们可以是这两组中的任一个值
综上,设常数k=d+√(d^+L^)
则有AC=[k-√(k^-4kd)]/2,BC=[k+√(k^-4kd)]/2
或者AC=[k+√(k^-4kd)]/2,BC=[k-√(k^-4kd)]/2
AEP,PFB,ACB相似AE/AC=AP/AB AE=AC-d 勾股定理克表示AP