2006安徽高中数学联赛初赛试卷及答案我主要要最后一题过程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:53:12
2006安徽高中数学联赛初赛试卷及答案我主要要最后一题过程
2006安徽高中数学联赛初赛试卷及答案
我主要要最后一题过程
2006安徽高中数学联赛初赛试卷及答案我主要要最后一题过程
15.已知数列{ an } ( n ≥0) 满足a0 = 0 ,对
于所有非负整数n ,有
an + 1 = 2 30 an ( an + 1) + 11 an + 5.
求an 的通项公式.
答案
15.an + 1 = 2 30 an ( an + 1) + 11 an + 5 > an .
将an + 1 - 11 an - 5 = 2 30 an ( an + 1) 两端平
方,并整理得
a2
n + a2
n + 1 - 22 an an + 1 - 10 an - 10 an + 1 + 25 = 0.
又a2
n - 1 + a2
n - 22 an - 1 an - 10 an - 1 - 10 an + 25 = 0 ,
两式相减得
a2
n +1 - a2
n - 1 - 22 an ( an +1 - an - 1) - 10( an +1 - an - 1)
= 0.
由于an + 1 - an - 1 > 0 ,因此,
an + 1 + an - 1 - 22 an - 10 = 0.
因为an + an - 2 - 22 an - 1 - 10 = 0 ,两式相减得齐
次线性递归式
an + 1 - 23 an + 23 an - 1 - an - 2 = 0.
特征方程为x3 - 23 x2 + 23 x - 1 = 0 ,特征根为
λ1 = 1 ,λ2 = 11 + 2 30 ,λ3 = 11 - 2 30.
设an = C1 + C2 11 + 2 30
n + C3 (11 - 2 30) n .
由于a0 = 0 ,a1 = 5 ,a2 = 120 ,得
C1 = -
1
2
,C2 = C3 =
1
4
.
所以,通项公式为
an = -
1
2
+
1
4
(11 + 2 30) n +
1
4
(11 - 2 30) n .