f(x)=x^3+ax^2+x在区间[-1,1]上有极大值和极小值,求常数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 07:47:06
f(x)=x^3+ax^2+x在区间[-1,1]上有极大值和极小值,求常数a的取值范围
f(x)=x^3+ax^2+x在区间[-1,1]上有极大值和极小值,求常数a的取值范围
f(x)=x^3+ax^2+x在区间[-1,1]上有极大值和极小值,求常数a的取值范围
首先,这个题目没有问题.
有人说f(x)在[-1,1]上一定有极值,这是不对的.极值一定是导数为0的点,而f(x)在[-1,1]上一定存在的应该是最值,而不是极值.最值可以是极值,也可以是端点值.但如果端点处导数不为零,那么端点处一定不能算作极值.
f'(x)=3x^2+2ax+1=g(x)
若同时存在极大值和极小值,则方程g(x)=0在[-1,1]上有两相异实根,即
不等式(i)：(2a)^2-4*3*1>0,aSqrt(3)
不妨设方程g(x)=0的两根-1≤x1＜x2≤1,则有
不等式(ii)：(x1+1)(x2-1)＜0,x1x2+x2-x1-1＜0,1/3+1/3*Sqrt(4a^2-12)-1＜0,4a^2-12＜4,-2＜a＜2
综上-2≤a＜-Sqrt(3)或Sqrt(3)＜a≤2.
先给求导
f'(x)=3x^2+2ax+1=0也就是这个方程在(-1,1)上有解就行.
一阶导数f'(x)=3x^2+2ax+1
在[-1,1]中有两个不等根
因为开口向上
所以只要对称轴a/3在[-1,1]并且f'(1)>0 f'(-1)>0就可以了
代进去
a/3在[-1,1] 所以a的范围[-3,3]
f'(1)>0 所以4+2a>0 a的范围(-2,+∞)
f'(-1)>0 所以4-2a>0 ...
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一阶导数f'(x)=3x^2+2ax+1
在[-1,1]中有两个不等根
因为开口向上
所以只要对称轴a/3在[-1,1]并且f'(1)>0 f'(-1)>0就可以了
代进去
a/3在[-1,1] 所以a的范围[-3,3]
f'(1)>0 所以4+2a>0 a的范围(-2,+∞)
f'(-1)>0 所以4-2a>0 a的范围(-∞,2)
取交集那么a的范围就是(-2,2)
收起
此题有问题，实际上不管a取多少，f(x)在[-1,1]上总有极大值和极小值。
对函数求导可以得到f'(x)=3x^2+2ax+1,要求f(x)=x^3+ax^2+x在区间[-1,1]上有极大值和极小值，那么就是要求方程3x^2+2ax+1=0在区间[-1，1]上有两个不等根，那么就有f'(-1)>=0,f'(1)>=0,4a^2-12>0于是可以解得-2=