一个关于矩阵迹的问题A、B均为n阶方阵,证明AB的迹等于BA的迹
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 12:37:06
一个关于矩阵迹的问题A、B均为n阶方阵,证明AB的迹等于BA的迹
一个关于矩阵迹的问题
A、B均为n阶方阵,证明AB的迹等于BA的迹
一个关于矩阵迹的问题A、B均为n阶方阵,证明AB的迹等于BA的迹
证法一：
考察矩阵
μI A
B μI
用第一行消第二行的B可以算出行列式,用第二行消第一行的A也能算出行列式,这两个行列式相等.
令λ=μ^2,代入即得AB和BA的特征多项式相等,于是tr(AB)=tr(BA).
证法二：
若B非奇异,则利用相似变换得tr(AB)=tr(B*AB*B^{-1})=tr(BA).
若B奇异,|t|充分小时tr(A*(B+tI))=tr((B+tI)*A),由tr的连续性,令t->0即得.
注：证法一可推广到长方的矩阵,证法二则不行.
最直观的证明是用迹的定义.
记 A=(aij), B=(bij)
则 AB=(Sum_k(aik*bkj)), BA=(Sum_k(bik*akj))
所以 tr(AB)=Sum_i Sum_k(aik*bki), tr(BA)=Sum_i Sum_k(bik*aki)
从而
tr(BA)=Sum_i Sum_k(aki*bik)=Sum_k Sum_i(...
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最直观的证明是用迹的定义.
记 A=(aij), B=(bij)
则 AB=(Sum_k(aik*bkj)), BA=(Sum_k(bik*akj))
所以 tr(AB)=Sum_i Sum_k(aik*bki), tr(BA)=Sum_i Sum_k(bik*aki)
从而
tr(BA)=Sum_i Sum_k(aki*bik)=Sum_k Sum_i(aki*bik)=tr(AB).
注: 其实证明过程就是应用加法的交换律和结合律. aij, bij 中的 ij 表示下标. Sum_i, Sum_k 分别表示对 i, k 求和.
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