已知a>b>c且4/(a-b)+1/(b-c)+k/(c-a)≥0恒成立,则k的最大值是?答案是9,求过程?

已知a>b>c且4/(a-b)+1/(b-c)+k/(c-a)≥0恒成立,则k的最大值是?答案是9,求过程?
已知a>b>c且4/(a-b)+1/(b-c)+k/(c-a)≥0恒成立,则k的最大值是?答案是9,求过程?

已知a>b>c且4/(a-b)+1/(b-c)+k/(c-a)≥0恒成立,则k的最大值是?答案是9,求过程?
令a-b=m,b-c=n
则c-a=-(m+n)
4/(a-b)+1/(b-c)+k/(c-a)≥0
4/m+1/n≥k/(m+n)
4(m+n)/m+(m+n)/n≥k
4+4n/m+1+m/n≥k
5+4n/m+m/n≥k
∵4n/m+m/n≤4
∴5+4≥k
k≤9

4/(a-b)+1/(b-c)+k/(c-a)≥0恒成立
则：4/(a-b)+1/(b-c)≥k/(a-c)
4/(a-b)+（a-b）+1/(b-c)+（b-c）≥k/(a-c)+（a-c)
因为a-b＞0 b-c＞0 a-c＞0
所以基本不等式有：4+2≥2乘以根号k
在运算得9≥k
即k最大值为9

证明如下
令a-b=m,b-c=n(m,n>0)
则：a-c=m+n
4/(a-b)+1/(b-c)+k/(c-a)≥0
4/m+1/n-k/(m+n)≥0
4/m+1/n≥k/(m+n)
两边同乘以(m+n)：
k<=4(m+n)/m+(m+n)/n=4+4n/m+1+m/n=5+4n/m+m/n=5+(4*n^2+m^2)/mn
...

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证明如下
令a-b=m,b-c=n(m,n>0)
则：a-c=m+n
4/(a-b)+1/(b-c)+k/(c-a)≥0
4/m+1/n-k/(m+n)≥0
4/m+1/n≥k/(m+n)
两边同乘以(m+n)：
k<=4(m+n)/m+(m+n)/n=4+4n/m+1+m/n=5+4n/m+m/n=5+(4*n^2+m^2)/mn
5+(4*n^2+m^2)/mn>=5+(4nm)/mn=5+4=9 (因为：a^2+b^2>=2ab)
所以：k的最大值是9.


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由已知, 当a>b>c时, k<=(a-c)(4/(a-b)+1/(b-c))恒成立. 故
k<=(a-c)[4/(a-b)+1/(b-c)]
=[(a-b)+(b-c)])[4/(a-b)+1/(b-c)]
=5+[4(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)]
由均值不等式, 4(b-c)/(a-b...

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由已知, 当a>b>c时, k<=(a-c)(4/(a-b)+1/(b-c))恒成立. 故
k<=(a-c)[4/(a-b)+1/(b-c)]
=[(a-b)+(b-c)])[4/(a-b)+1/(b-c)]
=5+[4(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)]
由均值不等式, 4(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)>=4, 于是(a-c)[4/(a-b)+1/(b-c)的最小值为5+4=9. 相应地, k的最大值为9. 可以看到, 当4(b-c)/(a-b)=(a-b)/(b-c), 即a+2c=3b时, k取得最大值9.

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4/(a-b)+1/(b-c)+k/(c-a)= 4/(a-b)+1/(b-c)-k/( a- c)
=[4(b-c) ( a- c)+ (a-b) ( a- c)-k(a-b) (b-c)]/[ (a-b) (b-c) ( a- c)]
=[4(b-c) ( a- c)+ (a-b) ( a- c)-k(a-b) (b-c)]/[ (a-b) (b-c) ( a- c)]

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4/(a-b)+1/(b-c)+k/(c-a)= 4/(a-b)+1/(b-c)-k/( a- c)
=[4(b-c) ( a- c)+ (a-b) ( a- c)-k(a-b) (b-c)]/[ (a-b) (b-c) ( a- c)]
=[4(b-c) ( a- c)+ (a-b) ( a- c)-k(a-b) (b-c)]/[ (a-b) (b-c) ( a- c)]
分母[ (a-b) (b-c) ( a- c)]>0,则4(b-c) ( a- c)+ (a-b) ( a- c)-k(a-b) (b-c)≥0，
4(b-c) ( a- c)+ (a-b) ( a- c)≥k(a-b) (b-c)，
k≤[4(b-c) ( a- c)+ (a-b) ( a- c)]/ [(a-b) (b-c)]= [4(b-c)+ (a-b) ]( a- c)/ [(a-b) (b-c)]
令b-c=x, a-b=y,则a- c=x+y, k≤(4x+y)(x+y)/xy=(4x^2+5xy+y^2)/xy=4x/y+y/x+5
4x/y+y/x≥2√(4x/y*y/x)=4
所以，k≤4+5=9，k的最大值为9

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