高中三角函数题,四边形ABCD外切于圆O,求证OAOC+OBOD=根号下ABBCCD*DA

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/19 10:59:47

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高中三角函数题,四边形ABCD外切于圆O,求证OA*OC+OB*OD=根号下AB*BC*CD*DA
做出来啦!

设内切圆半径为r,2(α+β+γ+δ)=2π
AO=r/cosα,OC=r/cosγ,OB=r/cosγ,OD=r/cosδ
OA*OC+OB*OD=r²/(cosαcosγ)+ r²/(cosβcosδ)= r²(cosαcosγ+ cosβcosδ)/(cosαcosβcosγcosδ)
AB=AG+GB=rtanα+rtanβ=rsin(α+β)/cosαcosβ
根号下AB*BC*CD*DA=r²根号下(sin(α+β)sin(β+γ)sin(γ+δ)sin(δ+α)/(cos²αcos²βcos²γcos²δ))= r²sin(α+β)sin(β+γ)/(cosαcosβcosγcosδ)
注意到：sin(α+β)sin(β+γ)=sin²β(cosαcosγ)+cos²β(sinαsinγ)+sin(α+γ)sinβcosβ
sin(α+β)sin(β+γ)- cosαcosγ= cos²β(sinαsinγ- cosαcosγ) +sin(α+γ)sinβcosβ=cosβ(-cosβcos(α+γ)+sinβsin(α+γ))=-cosβcos(α+β+γ)= cosβcosδ
故cosαcosγ+ cosβcosδ= sin(α+β)sin(β+γ)
故命题成立
这种题目用把内心的四个角设出来,最简单.没有比这更简单的解法了.
有疑问欢迎追问!

这个都不会算？利用三角形的面积公式证明就行了

高中三角函数题,四边形ABCD外切于圆O,求证OA*OC+OB*OD=根号下AB*BC*CD*DA 已知四边形ABCD外切于圆O,四边形ABCD面积为24,周长24,求圆O半径已知四边形ABCD外切于圆O,四边形ABCD面积为24,周长24,求圆O半径(线上等) 已知四边形ABCD外切于圆o,四边形ABCD的面积为24,周长24,求圆o的半径已知四边形ABCD外切于圆O,四边形ABCD面积为24,周长24,求圆O半径四边形ABCD外切于圆O,求证OA*OC+OB*OD=根号下AB*BC*CD*DA 如题, ○O和○O'外切于P,AB,CD为俩圆的外公切线,求证四边形ABCD外切与一圆已知:圆O和圆O1外切于P,AB,CD为两圆外公切线,求证:四边形ABCD外切于一圆.提示：对边之和相等的四边形可以内接一圆已知四边形ABCD外切于圆,四边形面积24,周长24,求圆半径一道高中竞赛几何题雅可比定理ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,为什么GM垂直于EF? 一道数学题,回答满意会奖分.圆O外切四边形ABCD,AD平行于BC,周长为20,则梯形中位线长为（）. 急啊～写明过程! 已知周长为40的四边形ABCD外切于半径为6的○O,求四边形的面积3Q 认为自己是数学天才的四边形ABCD是圆O的内外切四边形,且AB=16cm CD=10cm 则四边形周长为? 若四边形ABCD外切与圆O,且AB+CD=12CM,圆O的半径为3CM,此四边形的周长为多少,面积是多少? 四边形ABCD的对角线相交于O, 正三角形ABC外切于圆O,正方形DEFG内接于圆O,若三角形边长为6,求四边形DEFG的边长正三角形ABC外切于圆O,正方形DEFG内接于圆O,若三角形边长为6,求四边形DEFG的边长四边形ABCD是半径为1的圆O外切正方形,△PQR是圆O内接正三角形,当△PQR绕着圆心O旋转,向量AQ*OR的取值范围四边形ABCD是半径为1的圆O的外切正方形,△PQR是圆O的内接正三角形,当△PQR绕着圆心O旋