在三角形ABC中,a+b=4,C=60度,求这个三角形的周长的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 22:16:57
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在三角形ABC中,a+b=4,C=60度,求这个三角形的周长的最小值
根据余弦定理得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
=16-2*a*b-2*a*b*CosC
=16-2*a*b*(1+CosC)
=16-3*a*b
当a*b的值最大的时候 c的值最小 周长也最小
根据均值不等式可知a^2+b^2大于等于2*a*b 等号在a=b的时候成立
此时a*b=4 则c^2=16-3*4=4 即c=2
则周长=4+2=6

当面积最大的时候周长最小
C=60度
面积最大的时候是等边三角形
也就是说三边一样长,a=b=c=2
周长为6最小

易知周长=a+b+根号下(a^2+b^2-ab) (后面这个是c边)
=4+根号下(a^2+b^2+2ab-3ab)
=4+根号下(16-3ab)
由于a+b>=2根号下(ab)=4,所以根号下(ab)<=2,ab<=4, -ab>=-4
所以周长==4+根号下(16-3ab)>=4+根号下(16+3*(-4)))=4+2=6