证明三线共点设△ABC内一点O,其关于BC,CA,AB的对称点分别是A1,B1,C1.求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 23:19:34
证明三线共点设△ABC内一点O,其关于BC,CA,AB的对称点分别是A1,B1,C1.求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
证明三线共点
设△ABC内一点O,其关于BC,CA,AB的对称点分别是A1,B1,C1.
求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
证明三线共点设△ABC内一点O,其关于BC,CA,AB的对称点分别是A1,B1,C1.求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
用塞瓦定理结合面积证法.具体步骤如下：
设AA1、BB1、CC1分别交相应的边于D、E、F,于是AA1、BB1、CC1三线共点等价于AD、BE、CF共点.由塞瓦定理,我们只需证明(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1.将这些线段比转化为相应的面积比：
BD/DC=Area(ABA1)/Area(ACA1)
CE/EA=Area(BCB1)/Area(BAB1)
AF/FB=Area(CAC1)/Area(CBC1)
为此考察上述各三角形的面积.
由三角形面积公式容易发现：
Area(ABA1)=Area(ABO)*(sin(ABA1)/sin(ABO))
对于其他五个也有类似关系,所以
[Area(ABA1)/Area(ACA1)]*[Area(BCB1)/Area(BAB1)]*[Area(CAC1)/Area(CBC1)]
=[Area(ABO)/Area(ACO)]*[Area(BCO)/Area(BAO)]*[Area(CAO)/Area(CBO)]*
{[sin(ABA1)/sin(ABO)]/[sin(ACA1)/sin(ACO)]}*{[sin(BCB1)/sin(BCO)]/[sin(BAB1)/sin(BAO)]}*{[sin(CAC1)/sin(CAO)]/[sin(CBC1)/sin(CBO)]}
而各角之间有相互关系：∠ABA1=∠CBC1,∠BCB1=∠ACA1,∠CAC1=∠BAB1,由此,整理上式即得乘积等于（面积部分已经抵消）
[sin(ACO)/sin(ABO)]*[sin(BAO)/sin(BCO)]*[sin(CBO)/sin(CAO)]
=[sin(BAO)/sin(ABO)]*[sin(CBO)/sin(BCO)]*[sin(ACO)/sin(CAO)]
=(BO/AO)*(CO/BO)*(AO/CO)（正弦定理）
=1
得证所求.
好像你的命题是有问题的。利用作图可以验证，并非任意三角形内的任意一点都能满足结论的要求，让AA1、BB1、CC1三线共点。所以你的题目应该对三角形、和点的位置有所限制才有可能求证三线共点