定积分题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 12:18:48
定积分题,
定积分题,
定积分题,
已知：抛物线y^2=2px,（p>0)
y'=dy/dx=p/y,dx=(y/p)dy
根据弧长的微分公式：ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx.
对于曲线上的任一点M(x,y)来说,从顶点到M点的弧长为对ds进行积分,即从0积到y.
S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx（从0积到y）
=∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy （从0积到y）
=(1/p)∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy （从0积到y）
由积分表可知：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
得：S=(1/p){(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]-lnp}
=(y/2p)(p^2+y^2)^(1/2)+(p/2)ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]/p]
抛物线y^2=2px的顶点为(0,0)
且，2yy'=2p
===> y'=p/y
===> y'=p/√(2px)
所以，顶点到M(xo,yo)的弧长=∫<0,xo>√(1+y'^2)dx
=∫<0,xo>√[1+p^2/(2px)]dx
=∫<0,xo>√[1+(p/2x)]dx
——待续。。。
我的最简单了吧，晕死了，既然有那么多人回答还一个比一个复杂
x=y²/2p x‘=y/p
s=∫(0,y)√(1+(y/p)²)dy
=(1/p²)∫(0,y)√(p²+y²)dy
=(1/p²)[(y/2)√(p²+y²)+(p²/2)ln(y+√(p²+y²))]|(0,y)
=(1/2p²)[y/√(p²+y²)+p²ln(y+√(p²+y²))-p²lnp]
