关于直角三角形相似射影定理初中经典的题（有解法）这部分本人很不擅长...
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 12:53:18
关于直角三角形相似射影定理初中经典的题（有解法）这部分本人很不擅长...
关于直角三角形相似射影定理初中经典的题（有解法）
这部分本人很不擅长...
关于直角三角形相似射影定理初中经典的题（有解法）这部分本人很不擅长...
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射影
射影就是正投影,从一点到过顶点垂直于底边的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影,即射影定理.
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直角三角形射影定理
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
公式 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下：
（1）（AD）^2=BD•DC,
（2）（AB）^2=BD•BC ,
（3）（AC）^2=CD•BC .
证明：在 △BAD与△ACD中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,又∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴ AD/BD＝CD/AD,即（AD）^2=BD•DC.其余类似可证.
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理.由公式（2）+（3）得：
（AB）^2+（AC）^2=BD•BC+CD•BC =（BD+CD)•BC=（BC）^2,
即 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^2.
这就是勾股定理的结论.
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任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
设⊿ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有
a＝b•cosC＋c•cosB,
b＝c•cosA＋a•cosC,
c＝a•cosB＋b•cosA.
注：以“a＝b•cosC＋c•cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b•cosC、c•cosB,故名射影定理.
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且
BD=c•cosB,CD=b•cosC,∴a=BD+CD=b•cosC＋c•cosB.同理可证其余.
证明2：由正弦定理,可得：b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a•cosB＋b•cosA.同理可证其余.