已知直线l:y=k(x-a)及圆O:x^2+y^2=r^2(a>r>0),直线l与圆O相交于A,B两点,求当k变化时,弦AB中点M的轨迹方
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 09:54:24
已知直线l:y=k(x-a)及圆O:x^2+y^2=r^2(a>r>0),直线l与圆O相交于A,B两点,求当k变化时,弦AB中点M的轨迹方
已知直线l:y=k(x-a)及圆O:x^2+y^2=r^2(a>r>0),直线l与圆O相交于A,B两点,求当k变化时,弦AB中点M的轨迹方
已知直线l:y=k(x-a)及圆O:x^2+y^2=r^2(a>r>0),直线l与圆O相交于A,B两点,求当k变化时,弦AB中点M的轨迹方
这样的的题目是有难度的!大致的方法都是找出等式,设出所求轨迹的点（x,y）,并用所设的轨迹点,取代题目中变化的量.运用等式,就可以得到关于x,y的等式就是轨迹方程!
首先很关键地必须画出坐标轴,作出图形.
直线l:y=k(x-a)及圆O:x^2+y^2=r^2(a>r>0),直线l与圆O相交于A,B两点 .直线方程代入到圆方程中,可以得到关于x的二次三项式（1+k^2）x^2-2ak^2x+a^2k^2-r^2=0
设出A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y)则x1+x2=2ak^2/(1+k^2),x=(x1+x2)/2=ak^2/(1+k^2),y=k(x-a)=-ak/(1+k^2).这时可以看出k=-x/y.
下面就是运用圆内的直角三角形OMA（勾股定理）构建等式.弦长AB不难算出
2√(r^2+r^2k^2-a^2k^2).于是AM=√(r^2+r^2k^2-a^2k^2),而OM=
√(x^2+y^2),OA=r...这样由勾股定理得到OM^2+AM^2=r^2.
即x^2+y^2+r^2+r^2k^2-a^2k^2=r^2.再把k=-x/y代入,则上式只含有未知量x,y （r,a是已知量）可以得出结果(x^2+y^2)y^2+(r^2-a^2)x^2=0
(对于定义域,由所作图形和k的变化,不难知道,x>=0,且x
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