斐波那契数列的通项公式推导过程求大神帮助如何从他的递推公式推导至通项公式?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 01:12:29
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上一位说的很详细~我再介绍种母函数法.对于斐波那契数列{a(n)},有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时).令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+…….那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x.因此S(x)=x/(1-x-x^2).不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+…… 其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
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