求证明此数学不等式问题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:45:03
求证明此数学不等式问题求证明此数学不等式问题 求证明此数学不等式问题方法一（微分）：定义f(x)=ln(1+x)-x,则f(x)在x>-1时连续,且f''(x)=1/(1+x)-1=-x/(1
求证明此数学不等式问题
求证明此数学不等式问题
求证明此数学不等式问题
方法一（微分）：
定义f(x)=ln(1+x)-x,则f(x)在x>-1时连续,且
f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x),
所以当x>0时f'(x)<0,f(x)严格单调递减；
所以当x>0时f(x)
0>f(1/n)=ln(1+1/n)-1/n=ln[(n+1)/n]-1/n=ln(n+1)-ln(n)-1/n,
所以ln(n+1)-ln(n)<1/n
定义g(x)=ln(1+x)+1/(1+x)-1,则g(x)在x>-1时连续,且
g'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2,
所以当x>0时g'(x)>0,g(x)严格单调递增；
所以当x>0时g(x)>g(0)=ln1+1-1=0.
特别地1/n>0,所以
0
方法二（积分）：
对n
其中第一项和第三项都是常数的积分,所以第一项=[(n+1)-n]*1/(n+1)=1/(n+1),第三项=[(n+1)-n]*1/n=1/n；
对第二项用Newton-Leibniz公式得ln(x)|{x=n+1}-ln(x)|{x=n}=ln(n+1)-ln(n),
即得1/(n+1)