如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC分别为边做等边三角形ACE,等边三角行BCF,M,P,N分别是AE,AB,BF的中点,则线段MP与线段NP有怎样的大小关系?说明理由.夹角是多少度?为什么?如果直角三角形ABC改
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 04:01:57
如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC分别为边做等边三角形ACE,等边三角行BCF,M,P,N分别是AE,AB,BF的中点,则线段MP与线段NP有怎样的大小关系?说明理由.夹角是多少度?为什么?如果直角三角形ABC改
如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC分别为边做等边三角形ACE,等边三角行BCF,M,P,N分别是AE,AB,BF的
中点,则线段MP与线段NP有怎样的大小关系?说明理由.夹角是多少度?为什么?如果直角三角形ABC改成锐角三角形,上述结论是否仍然成立?
如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC分别为边做等边三角形ACE,等边三角行BCF,M,P,N分别是AE,AB,BF的中点,则线段MP与线段NP有怎样的大小关系?说明理由.夹角是多少度?为什么?如果直角三角形ABC改
线段MP与线段NP有怎样的大小关系是相等.夹角是120度. 如果直角三角形ABC改成锐角三角形,上述结论仍然成立.
理由:
连接BE,AF
则 MP是△AEB的中位线,NP是△AFB的中位线
从而 MP=EB/2 NP=AF/2
在△BCE与△ACF中
AC=EC ①
BC=CF ②
∠ECB=∠ACE+∠ACB=60°+90°=150°
∠ACF=∠FCB+∠ACB=60°+90°=150°
从而 ∠ECB=∠ACF ③
由①②③得 △BCE≌△ACF
(边,角,边)
从而 EB=AF ④又已得 MP=EB/2 ⑤ NP=AF/2 ⑥
由④⑤⑥得 MP=NP
设EB与AF相交于O
由 △BCE≌△ACF 得 ∠CEB=∠CAF
从而 A,E,C,O四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若其顶角相等(同弧所对的圆周角相等
),从而即可肯定这四点共圆)得 ∠EOC=∠EAC=60°⑦
同理可得 ∠COF=∠CBF=60°⑧
又 MP是△AEB的中位线,NP是△AFB的中位线
从而 由⑦⑧得 ∠MPC=∠EOC=60°⑨ ∠NPC=∠COF=60°⑩
由⑨⑩得 ∠MPN=∠MPC+∠NPC=60°+60°=120°
如果直角三角形ABC改成锐角三角形,根据上面推理,得到上述结论仍然成立.