如图,在三角形ABC中,AG垂直BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向三角形ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形ACF,过点E,F作射线GA的垂线,垂足分别为P,Q.如图,在三角形ABC中,AG垂直BC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 23:21:42
如图,在三角形ABC中,AG垂直BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向三角形ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形ACF,过点E,F作射线GA的垂线,垂足分别为P,Q.如图,在三角形ABC中,AG垂直BC
如图,在三角形ABC中,AG垂直BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向三角形ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形ACF,过点E,F作射线GA的垂线,垂足分别为P,Q.如图,在三角形ABC中,AG垂直BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向三角形ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形ACF,过点E,F作射线GA的垂线,垂足分别为P,Q.
1,试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
2,连接EF交PG于M,求证：AQ+AP=2AM.
如图,在三角形ABC中,AG垂直BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向三角形ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形ACF,过点E,F作射线GA的垂线,垂足分别为P,Q.如图,在三角形ABC中,AG垂直BC
题有问题,若是等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,则结论可证
1,EP=FQ
证明：因为三角形ABE是等腰直角三角形
所以AB=AE
角BAE=90度
因为AG垂直BC于G
所以角AGB=角AGC=90度
因为角BAG+角ABG+角AGB=180度
所以角BAG+角ABG=90度
因为角BAE+角BAG+角EAP=180度
所以角EAP+角BAG=角BAG+角ABG=90度
所以角ABG=角EAP
因为EP垂直射线GA
所以角APE=90度
所以角AGB=角APE=90度
所以三角形APE和三角形BGA全等（AAS)
所以EP=AG
AP=BG
因为三角形ACF是等腰直角三角形
所以角CAF=90度
AC=AF
因为角CAF+角FAQ+角CAG=180度
所以角FAQ+角CAG=90度
因为角AGC+角ACG+角CAG=180度
所以角ACG+角CAG=角CAG+角FAQ=90度
所以角ACG=角FAQ
因为FQ垂直射线GA
所以角AQF=90度
所以角AQF=角AGC=90度
所以三角形AQF和三角形CGA全等（AAS)
所以FQ=AG
AQ=CG
所以EP=FQ
(2)证明：延长AM,使MN=AM=1/2AN,连接FN
因为角AQE=角AQF=90度
角PME=角QMF（对顶角相等）
EP=FQ（已证）
所以三角形EPM和三角形FQM全（AAS)
所以EM=MF
因为角AME=角FMN
所以三角形AME三角形NMF全等（SAS)
所以AE=FN
角AEM=角MFN
所以AE平行FN
所以角EAF+角AFN=180度
因为角BAE+角BAC+角CAF+角EAF=360度
角BAE=角CAF=90度（已证）
所以角BAC+角EAF=角EAF+角AFN=180度
所以角BAC=角AFN
因为AC=AF（已证）
AB=AE（已证）
所以AB=FN
所以三角形ABC和三角形FNA全等（SAS)
所以AN=BC
因为BC=BG+CG
BG=AP（已证）
CG=AQ（已证）
所以AP+AQ=BC=AN
所以AP+AQ=2AM