已知cos(α+β)=0,求证:sin(α+2β)=sinα.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 11:21:39
已知cos(α+β)=0,求证:sin(α+2β)=sinα.
已知cos(α+β)=0,求证:sin(α+2β)=sinα.
已知cos(α+β)=0,求证:sin(α+2β)=sinα.
证明：（直接证明法）
sin(α+2β)
=sinα·cos2β+cosα·sin2β
=sinα·(1-2sin²β)+cosα·2sinβcosβ
=sinα-2sinα·sinβ·sinβ+2cosα·cosβ·sinβ
=sinα+2sinβ·(cosαcosβ-sinαsinβ)
=sinα+2sinβ·cos(α+β)
=sinα+2sinβ·0
=sinα
※请仔细核查,该证明需要用到以下公式：
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
sin2A=2sinAcosA
cos2A=cos²A-sin²A=1-2sin²A
cos²B+sin²B=1
证明：cos(α+β)=0，得 sin²(α+β)=1-cos²(α+β)=1
sin(α+2β)=sin[2(α+β)-α]
=sin[2(α+β)]*cosα-sinα*cos[2(α+β)]
=2sin(α+β)*cos(α+β)*cosα-sinα*[1-2sin²(α+β)]
=sinα
∵cos(α + β)= 0
∴α + β = kπ + π/2 (k∈N)
∴sin(α + 2β)= sin(kπ + π/2 + β)= cosβ = sinα
cos(α+β)=0
cosαcosβ-sinαsinβ=0
sin(α+2β)=sinα[（α+β）+β]
＝sinα（α+β）cosβ+cos(α+β)sinβ
＝sinα（α+β）cosβ
＝（sinαcosβ+cosαsinβ）cosβ
=sinαcos^2β+sinβ*cosαcosβ
=sinαcos^2β+sinαsin^2β
=sinα(cos^2β+sin^2β)
=sinα
证明：
∵cos(α+β)=0，即：
α+β=kπ+π/2
α=π/2+(kπ-β)
sinα=sin[π/2+(kπ-β)]=cos(kπ-β)=cosβ
当k=2n时：
sinα=cosβ
当k=2n+1时：
sinα=-cosβ
又
sin(α+2β)=sin[π/2+(kπ-β)+2β]
=sin[π/...
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证明：
∵cos(α+β)=0，即：
α+β=kπ+π/2
α=π/2+(kπ-β)
sinα=sin[π/2+(kπ-β)]=cos(kπ-β)=cosβ
当k=2n时：
sinα=cosβ
当k=2n+1时：
sinα=-cosβ
又
sin(α+2β)=sin[π/2+(kπ-β)+2β]
=sin[π/2+kπ+β]
=cos(kπ+β)
当k=2n时：
sin(α+2β)=cosβ=sinα
当k=2n+1时：
sin(α+2β)=-cosβ=sinα
综上：
sin(α+2β)=sinα
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